题目内容
【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,若点P从点A出发,以每秒2cm的速度沿折线A-C-B-A运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)若点P在AC上,且满足PA=PB时,求出此时t的值;
(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上,求t的值;
(3)在运动过程中,直接写出当t为何值时,△BCP为等腰三角形.
【答案】
(1)解:设存在点P,使得PA=PB,
此时PA=PB=2t,PC=4-2t,
在Rt△PCB中,PC2+CB2=PB2,
即:(4-2t)2+32=(2t)2,
解得:t= ,
∴当t= 时,PA=PB
(2)解:当点P在∠CAB的平分线上时,如图1,过点P作PE⊥AB于点E,
此时BP=7-2t,PE=PC=2t-4,BE=5-4=1,
在Rt△BEP中,PE2+BE2=BP2,
即:(2t-4)2+12=(7-2t)2,
解得:t= ,
∴当t= 时,P在△ABC的角平分线上
(3)解:在Rt△ABC中,∵AB=5cm,BC=3cm,
∴AC=4cm,
根据题意得:AP=2t,
当P在AC上时,△BCP为等腰三角形,
∴PC=BC,即4-2t=3,
∴t= ,
当P在AB上时,△BCP为等腰三角形,
①CP=PB,点P在BC的垂直平分线上,
如图2,过P作PE⊥BC于E,
∴BE= BC= ,
∴PB= AB,即2t-3-4= ,解得:t= ,
②PB=BC,即2t-3-4=3,
解得:t=5,
③PC=BC,如图3,过C作CF⊥AB于F,
∴BF= BP,
∵∠ACB=90°,
由射影定理得;BC2=BFAB,
即33= ×5,
解得:t= ,
∴当t= ,5, , 时,△BCP为等腰三角形.
【解析】(1)设存在点P,使得PA=PB,此时PA=PB=2t,PC=4-2t,根据勾股定理列方程即可得到结论;
(2)当点P在∠CAB的平分线上时,如图1,过点P作PE⊥AB于点E,此时BP=7-2t,PE=PC=2t-4,BE=5-4=1,根据勾股定理列方程即可得到结论;
(3)在Rt△ABC中,根据勾股定理得到AC=4cm,根据题意得:AP=2t,当P在AC上时,△BCP为等腰三角形,得到PC=BC,即4-2t=3,求得t的值,,当P在AB上时,△BCP为等腰三角形,①CP=PB,点P在BC的垂直平分线上,如图2,过P作PE⊥BC于E,求得t的值,②PB=BC,即2t-3-4=3,解得t的值,③PC=BC,如图3,过C作CF⊥AB于F,由射影定理得;BC2=BFAB,列出方程求解即可得出结论。