Question

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2

3

，P是线段AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，∠PDA=

15°或75°

；
（3）当PC=

3

2

时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上，
此时?DPBQ的面积=

9

4

．

Answer 1

分析：（1）作DF⊥AC，由AB的长求得BC、AC的长．在等腰Rt△DAC中，DF=FA=FC；在Rt△BCP中，求得PC的长．则由勾股定理即可求得DP的长．
（2）由（1）得BC与DF的关系，则DP与DF的关系也已知，先求得∠PDF的度数，则∠PDA的度数也可求出，需注意有两种情况．
（3）由于四边形DPBQ为平行四边形，则BC∥DF，P为AC中点，作出平行四边形，求得面积．

解答：解：在Rt△ABC中，AB=2

3

，∠BAC=30°，
∴BC=

3

，AC=3．
（1）如图（1），作DF⊥AC．
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF=

3

2

．
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC•tan30°=1，
∴PF=

1

2

，
∴DP=

PF2+DF2

=

10

2

．

（2）当P点位置如图（2）所示时，
根据（1）中结论，DF=

3

2

，∠ADF=45°，
又∵PD=BC=

3

，
∴cos∠PDF=

DF

PD

=

3

2

，
∴∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°．
当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．
故∠PDA的度数为15°或75°；

（3）当点P运动到边AC中点（如图4），即CP=

3

2

时，
以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．
∵四边形DPBQ为平行四边形，
∴BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．
而在Rt△ABC中，AB=2

3

，BC=

3

，
∴根据勾股定理得：AC=3，
∵△DAC为等腰直角三角形，
∴DP=CP=

1

2

AC=

3

2

，
∵BC∥DP，
∴DP是平行四边形DPBQ的高，
∴S_{平行四边形DPBQ}=DP•CP=

9

4

．
故答案为：15°或75°；

3

2

，

9

4

．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，综合性较强，难度系数较大．