题目内容

已知BC为⊙O直径，D是直径BC上一动点（不与点B，O，C重合），过点D作直线AH⊥BC交⊙O于A，H两点，F是⊙O上一点（不与点B，C重合），且
AB
=
AF
，直线BF交直线AH于点E．
（1）如图（a），当点D在线段BO上时，试判断AE与BE的大小关系，并证明你的结论；
（2）当点D在线段OC上，且OD＞DC时，其它条件不变．
①请你在图（b）中画出符合要求的图形，并参照图（a）标记字母；
②判断（1）中的结论是否还成立，请说明理由．
（1）AE=BE
证法①：
∵BC为⊙O直径，AH⊥BC于点D
∴
AB
=
BH

又∵
AB
=
AF

∴
BH
=
AF

∴∠1=∠2
∴AE=BE．
证法②：
连AF，AC
∵BC是⊙O直径，AH⊥BC于点D
∴∠BAC=∠ADB=90°
∴∠2+∠ABD=90°，∠ABD+∠C=90°
∴∠2=∠C
∵∠F=∠C
∴∠2=∠F
又∵
AB
=
AF

∴∠1=∠F
∴∠1=∠2
∴AE=BE．
证法③：
连接OA，交BF于点G
∵
AB
=
AF

∴OA⊥BF
又∵AD⊥BC
∴∠ADO=∠BGO
又∵∠AOB=∠AOB
∴△AOD∽△BOG
∴∠OBE=∠OAD
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∴∠1=∠2
∴AE=BE

（2）①所画图形如右图所示，AE=BE成立
证法①：
∵BC是⊙O直径，AH⊥BC于点D
∴
AB
=
BH

又
AB
=
AF

∴
BH
=
AF

∴∠BAE=∠ABE
∴AE=BE．

证法②：
连接AC，AF
∵BC是⊙O直径，BC⊥AD于点D
∴∠BAC=∠ADC=90°
∵
AB
=
BH

∴∠BAD=∠C
又∵
AB
=
AF

∴∠ABF=∠AFB
又∵∠C=∠AFB
∴∠ABF=∠BAE
∴BE=AE．
证法③：
连接AO并延长AO交BF于点G
∵
AB
=
AF
，AG过圆心
∴AG⊥BF
又∵AH⊥BC于点D
∴∠ADO=∠OGB=90°
又∵BC为⊙O直径，∠2=∠3
∴∠GBO=∠DAO
又∵OA=OB
∴∠4=∠5
∴∠ABG=∠BAD
∴BE=AE．
练习册系列答案
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附加题：
（1）计算-2+3的结果是______；
（2）如图，点C在⊙O上，∠ACB=50°，则∠AOB=______°．
如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD相交于点O，在不添加辅助线的情况下，请写出由已知条件可得出的三个不同的正确结论：
（1）______，（2）______，（3）______（注：其中关于角的结论不得多于两个）．
如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为______．
如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=∠DAB．求证：AC=AD．
如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则∠BAD的度数是（　　）
A．36°B．48°C．72°D．96°
已知A、B、C、D是⊙O上的四点，
CD
=
BD
，AC是四边形ABCD的对角线
（1）如图1，连结BD，若∠CDB=60°，求证：AC是∠DAB的平分线；
（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC=7，AB=5，求线段AE的长度．
如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
求BC和AD的长．
如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以A为圆心，r为半径作⊙A，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是______．

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