题目内容

(2002•上海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,ctgA=
4
3

(1)当∠PBC=∠A时,求AP的长.
(2)点O是BP上一点,且⊙O与边AB、AC都相切,设AP=x,⊙O的半径为y,求y与x的函数解析式,并写出函数的定义域.
(3)在(2)中,⊙O与边BC也相切时,试判断sinA与
OP
AP
的大小,并说明你的理由.
分析:(1)由勾股定理、余切三角函数的定义求得线段AC的长度,通过相似三角形△PBC∽△BAC是对应边成比例求得PC的长度;然后根据图形中线段间的和差关系来求AP的长度;
(2)设⊙O和AC,AB分别相切于点D、E,连接OD、OE.根据切线长定理和勾股定理求y与x的函数解析式;
(3)根据三角形内切圆的定义判定BP是∠CBA的平分线;然后由角平分线性质定理、勾股定理以及平行线截线段成比例分别求得AP、OP的值.
解答:解:(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,ctgA=
4
3

AC
BC
=
4
3

又∵AB=10,AB2=AC2+BC2
∴AC=8,BC=6.
∵∠PBC=∠A,∠PCB=∠BCA=90°,
∴△PBC∽△BAC,
PC
BC
=
BC
AC
,即
PC
6
=
6
8

∴PC=
9
2

∴AP=AC-PC=
7
2


(2)如图1,设⊙O和AC、AB分别相切于点D、E,连接OD、OE.连接AO并延长AO交BC于点H.则AH是∠BAC的平分线.
根据角平分线定理知,
AB
BH
=
AC
CH
,即
10
6-CH
=
8
CH

∴CH=
8
3

∵AC切⊙O于点D,
∴OD⊥AC;
又∵BC⊥AC,
∴OD∥BC.
在△PBC中,
OD
BC
=
PD
PC
,即
y
6
=
PD
8-x
,则PD=
y(8-x)
6

在△ACH中,
OD
HC
=
AD
AC
,即
y
8
3
=
PD+x
8
=
y(8-x)
6
+x
8
,则y=
6x
10+x
(0<x<8);

(3)解:sinA>
OP
AP
.理由如下:
如图2,∵⊙O与边AB、AC、BC都相切,
∴BP是∠CBA的平分线,
BC
CP
=
BA
PA
,即
6
8-AP
=
10
AP
,则AP=5,CP=3.
∴在直角△BCP中,根据勾股定理知BP=3
5

∵AP=x,⊙O的半径为y,y=
6x
10+x

∴OD=
6×5
10+5
=2.
∵OD⊥AC,BC⊥AC,
∴OD∥BC,
OP
BP
=
OD
BC
,即
OP
3
5
=
2
6
,则OP=
5

∴sinA=
BC
AB
=
6
10
=
3
5
OP
AP
=
5
5

∴sinA>
OP
AP
点评:本题考查了圆的综合题.其中涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理以及二次函数的定义域.
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