题目内容
(2002•上海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,ctgA=
.
(1)当∠PBC=∠A时,求AP的长.
(2)点O是BP上一点,且⊙O与边AB、AC都相切,设AP=x,⊙O的半径为y,求y与x的函数解析式,并写出函数的定义域.
(3)在(2)中,⊙O与边BC也相切时,试判断sinA与
的大小,并说明你的理由.
4 |
3 |
(1)当∠PBC=∠A时,求AP的长.
(2)点O是BP上一点,且⊙O与边AB、AC都相切,设AP=x,⊙O的半径为y,求y与x的函数解析式,并写出函数的定义域.
(3)在(2)中,⊙O与边BC也相切时,试判断sinA与
OP |
AP |
分析:(1)由勾股定理、余切三角函数的定义求得线段AC的长度,通过相似三角形△PBC∽△BAC是对应边成比例求得PC的长度;然后根据图形中线段间的和差关系来求AP的长度;
(2)设⊙O和AC,AB分别相切于点D、E,连接OD、OE.根据切线长定理和勾股定理求y与x的函数解析式;
(3)根据三角形内切圆的定义判定BP是∠CBA的平分线;然后由角平分线性质定理、勾股定理以及平行线截线段成比例分别求得AP、OP的值.
(2)设⊙O和AC,AB分别相切于点D、E,连接OD、OE.根据切线长定理和勾股定理求y与x的函数解析式;
(3)根据三角形内切圆的定义判定BP是∠CBA的平分线;然后由角平分线性质定理、勾股定理以及平行线截线段成比例分别求得AP、OP的值.
解答:解:(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,ctgA=
,
∴
=
.
又∵AB=10,AB2=AC2+BC2,
∴AC=8,BC=6.
∵∠PBC=∠A,∠PCB=∠BCA=90°,
∴△PBC∽△BAC,
∴
=
,即
=
,
∴PC=
,
∴AP=AC-PC=
;
(2)如图1,设⊙O和AC、AB分别相切于点D、E,连接OD、OE.连接AO并延长AO交BC于点H.则AH是∠BAC的平分线.
根据角平分线定理知,
=
,即
=
,
∴CH=
.
∵AC切⊙O于点D,
∴OD⊥AC;
又∵BC⊥AC,
∴OD∥BC.
在△PBC中,
=
,即
=
,则PD=
.
在△ACH中,
=
,即
=
=
,则y=
(0<x<8);
(3)解:sinA>
.理由如下:
如图2,∵⊙O与边AB、AC、BC都相切,
∴BP是∠CBA的平分线,
∴
=
,即
=
,则AP=5,CP=3.
∴在直角△BCP中,根据勾股定理知BP=3
.
∵AP=x,⊙O的半径为y,y=
,
∴OD=
=2.
∵OD⊥AC,BC⊥AC,
∴OD∥BC,
∴
=
,即
=
,则OP=
,
∴sinA=
=
=
,
=
,
∴sinA>
.
4 |
3 |
∴
AC |
BC |
4 |
3 |
又∵AB=10,AB2=AC2+BC2,
∴AC=8,BC=6.
∵∠PBC=∠A,∠PCB=∠BCA=90°,
∴△PBC∽△BAC,
∴
PC |
BC |
BC |
AC |
PC |
6 |
6 |
8 |
∴PC=
9 |
2 |
∴AP=AC-PC=
7 |
2 |
(2)如图1,设⊙O和AC、AB分别相切于点D、E,连接OD、OE.连接AO并延长AO交BC于点H.则AH是∠BAC的平分线.
根据角平分线定理知,
AB |
BH |
AC |
CH |
10 |
6-CH |
8 |
CH |
∴CH=
8 |
3 |
∵AC切⊙O于点D,
∴OD⊥AC;
又∵BC⊥AC,
∴OD∥BC.
在△PBC中,
OD |
BC |
PD |
PC |
y |
6 |
PD |
8-x |
y(8-x) |
6 |
在△ACH中,
OD |
HC |
AD |
AC |
y | ||
|
PD+x |
8 |
| ||
8 |
6x |
10+x |
(3)解:sinA>
OP |
AP |
如图2,∵⊙O与边AB、AC、BC都相切,
∴BP是∠CBA的平分线,
∴
BC |
CP |
BA |
PA |
6 |
8-AP |
10 |
AP |
∴在直角△BCP中,根据勾股定理知BP=3
5 |
∵AP=x,⊙O的半径为y,y=
6x |
10+x |
∴OD=
6×5 |
10+5 |
∵OD⊥AC,BC⊥AC,
∴OD∥BC,
∴
OP |
BP |
OD |
BC |
OP | ||
3
|
2 |
6 |
5 |
∴sinA=
BC |
AB |
6 |
10 |
3 |
5 |
OP |
AP |
| ||
5 |
∴sinA>
OP |
AP |
点评:本题考查了圆的综合题.其中涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理以及二次函数的定义域.
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