Question

如图，直线（b＞0）与双曲线（x＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N；有以下结论：

①OA=OB②△AOM≌△BON③若∠AOB=45°，则S_△AOB=k④当AB=时，ON-BN=1；其中结论正确的个数为（    ）
A．1      B．2       C．3            D．4

Answer 1

D

解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入中，得x₁?y₁=x₂?y₂=k，
联立，得x²-bx+k=0，
则x₁?x₂=k，又x₁?y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂?y₂=k，
可得x₁=y₂，

∴ON=OM，AM=BN，
∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，正确；
③作OH⊥AB，垂足为H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵②△AOM≌△BON，正确；
∴∠MOA=∠BON=22.5°，
∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=k+k=k，正确；
④延长MA，NB交于G点，

∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB=时，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，正确．
正确的结论有4个．
故选D．