Question

对于二次函数y=x²-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．
现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（-1，n），请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t=2时，抛物线E的顶点坐标是______；
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值．
【发现】
通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是______．
【应用1】
二次函数y=-3x²+5x+2是二次函数y=x²-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
【应用2】
以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、B、C、D中的三点，求出所有符合条件的t的值．

Answer 1

【答案】分析：【尝试】
（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；
（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；
（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．
【发现】
将抛物线E展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．
【应用1】
将【发现】中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x²+5x+2中进行验证即可．
【应用2】
该题的关键是求出C、D的坐标；首先画出相应的图形，过C、D作坐标轴的垂线，通过构建相似三角形或全等三角形来求解．在求得C、D的坐标后，已知抛物线E必过A、B，因此只需将C或D的坐标代入抛物线E的解析式中，即可求出符合条件的t值．
解答：解：【尝试】
（1）将t=2代入抛物线E中，得：y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x²-4x=2（x-1）²-2，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，-2）．
（2）将x=2代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，
∴点A（2，0）在抛物线E上．
（3）将x=-1代入抛物线E的解析式中，得：
n=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．

【发现】
将抛物线E的解析式展开，得：
y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4
∴抛物线E必过定点（2，0）、（-1，6）．

【应用1】
将x=2代入y=-3x²+5x+2，y=0，即点A在抛物线上．
将x=-1代入y=-3x²+5x+2，计算得：y=-6≠6，
即可得抛物线y=-3x²+5x+2不经过点B，
二次函数y=-3x²+5x+2不是二次函数y=x²-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”．

【应用2】
如图，作矩形ABC₁D₁和ABC₂D₂，过点B作BK⊥y轴于点K，过B作BM⊥x轴于点M，
易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC₁∽△MBA，
则：=，即=，求得 C₁K=，所以点C₁（0，）．
易知△KBC₁≌△GAD₁，得AG=1，GD₁=，
∴点D₁（3，）．
易知△OAD₂∽△GAD₁，=，由AG=1，OA=2，GD₁=，求得 OD₂=1，∴点D₂（0，-1）．
易知△TBC₂≌△OD₂A，得TC₂=AO=2，BT=OD₂=1，所以点C₂（-3，5）．
∵抛物线E总过定点A（2，0）、B（-1，6），
∴符合条件的三点可能是A、B、C或A、B、D．
当抛物线E经过A、B、C₁时，将C₁（0，）代入y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4），求得t₁=-；
当抛物线E经过A、B、D₁，A、B、C₂，A、B、D₂时，可分别求得t₂=，t₃=-，t₄=．
∴满足条件的所有t的值为：-，，-，．
点评：该题通过新定义的形式考查了二次函数、矩形、相似三角形、全等三角形等综合知识，理解新名词的含义尤为关键．最后一题的综合性较强，通过几何知识找出C、D点的坐标是此题的难点所在．