题目内容
【题目】基本图形:在Rt△中,,为边上一点(不与点,重合),将线段绕点逆时针旋转得到.
探索:(1)连接,如图①,试探索线段之间满足的等量关系,并证明结论;
(2)连接,如图②,试探索线段之间满足的等量关系,并证明结论;
联想:(3)如图③,在四边形中,.若,,则的长为 .
【答案】(1)BC=DC+EC(2)BD2+CD2=DE2(3)2
【解析】
(1)根据已知条件和全等三角形的判定定理,得出△BAD≌△CAE;
(2)连接CE,由(1)得到△BAD≌△CAE,从而得到∠DCE=90°,根据勾股定理得到等量关系;
(3)作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,先利用SAS证明△BAD≌△CAE,得到CE=3,在RT△CDE中,利用勾股定理可求出DE=,最后在RT△ADE中,利用勾股定理可求出AD=2,
解:(1)BC=DC+EC,
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,
∴BC=BD+CD=EC+CD,
即:BC=DC+EC;
(2)BD2+CD2=DE2,
连接CE,由(1)得,△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,∠ACE=∠B,
∴∠DCE=90°,
∴CE2+CD2=ED2;
(3)AD=2,
作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,
在△BAD与△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE=3,
∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,
∴∠EDC=90°,
∴DE==,
∵∠DAE=90°,
∴,
∴AD=2.
故答案为:(1)BC=DC+EC;(2)BD2+CD2=DE2;(3)2.