题目内容

【题目】基本图形:在Rt△中,边上一点(不与点重合),将线段绕点逆时针旋转得到.

探索:(1)连接,如图①,试探索线段之间满足的等量关系,并证明结论;

(2)连接,如图②,试探索线段之间满足的等量关系,并证明结论;

联想:(3)如图③,在四边形中,.若,则的长为 .

【答案】(1)BC=DC+EC(2)BD2+CD2=DE2(3)2

【解析】

(1)根据已知条件和全等三角形的判定定理,得出BAD≌△CAE;

(2)连接CE,由(1)得到BAD≌△CAE,从而得到∠DCE=90°,根据勾股定理得到等量关系;

(3)AEAD,使AE=AD,连接CE,DE,先利用SAS证明BAD≌△CAE,得到CE=3,在RTCDE中,利用勾股定理可求出DE=最后在RTADE中,利用勾股定理可求出AD=2,

解:(1)BC=DC+EC,

∵∠BAC=DAE=90°,

∴∠BAC﹣DAC=DAE﹣DAC,即∠BAD=CAE,

BADCAE中,

∴△BAD≌△CAE,

BD=CE,

BC=BD+CD=EC+CD,

即:BC=DC+EC;

(2)BD2+CD2=DE2

连接CE,由(1)得,BAD≌△CAE,

BD=CE,ACE=B,

∴∠DCE=90°,

CE2+CD2=ED2

(3)AD=2,

AEAD,使AE=AD,连接CE,DE,

∵∠BAC+CAD=DAE+CAD,

即∠BAD=CAE,

BADCAE中,

∴△BAD≌△CAE(SAS),

BD=CE=3,

∵∠ADC=45°,EDA=45°,

∴∠EDC=90°,

DE==

∵∠DAE=90°,

AD=2.

故答案为:(1)BC=DC+EC;(2)BD2+CD2=DE2;(3)2.

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