题目内容
（2002•哈尔滨）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x-7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）当x=0和x=2时，y的值相等，可知抛物线的对称轴为x=1，将x=1代入直线的解析式中即可求出抛物线顶点的坐标，根据直线的解析式还可求出另一交点的坐标，可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将另一交点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）由于四边形QACP不是规则的四边形，因此可将其分成直角三角形AOC和直角梯形QOCP两部分进行计算．先求出直线BM的解析式，然后将x=t代入直线BM的解析式中即可求出QP的长，然后根据梯形的面积计算公式即可求出梯形QOCP的面积．然后根据四边形QACP的面积计算方法即可得出S，t的函数关系式．
（3）可分三种情况进行讨论：
①NM=MC；②NM=NC；③MC=NC．可根据直线BM的解析式设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式表示出各线段的长，根据上面不同的等量关系式可得出不同的方程，经过解方程即可得出N点的坐标．
解答：解：（1）由题意可知：抛物线的对称轴为x=1．
当x=1时，y=3x-7=-4，因此抛物线的顶点M的坐标为（1，-4）．
当x=4时，y=3x-7=5，因此直线y=3x-7与抛物线的另一交点为（4，5）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4，
则有：a（4-1）2-4=5，a=1．
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3．
（2）根据（1）的抛物线可知：A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）；
易知直线BM的解析式为y=2x-6；
当x=t时，y=2t-6；
因此PQ=6-2t；
∴S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=
×（3+6-2t）×t+
×3
即：S四边形PQAC=-t2+
t+
（1＜t＜3）．
（3）假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．
∵点N在BM上，不妨设N点坐标为（m，2m-6），
则CM2=12+12=2，CN2=m2+[3-（6-2m）]2，或CN2=m2+[（6-2m）-3]2．
MN2=（m-1）2+[4-（6-2m）]2．
△NMC为等腰三角形，有以下三种可能：
①若CN=CM，则m2+[（6-2m）-3]2=2，
∴m1=
，m2=1（舍去）．
∴N（
，-
）．
②若MC=MN，则（m-1）2+[4-（6-2m）]2=12+12．
∴m=1±
．
∵1＜m＜3，
∴m=1-
舍去．
∴N（1+
，
-4）．
③若NC=NM，则m2+[3-（6-2m）]2=（m-1）2+[4-（6-2m）]2．
解得m=2．
∴N（2，-2）．
故假设成立．
综上所述，存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．且点N的坐标分别为：
N1（
，-
），N2（1+
，
-4），N3（2，-2）．
点评：本题主要考查了二次函数解析式、图形面积的求法、函数图象的交点、等腰三角形的构成等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
（2）由于四边形QACP不是规则的四边形，因此可将其分成直角三角形AOC和直角梯形QOCP两部分进行计算．先求出直线BM的解析式，然后将x=t代入直线BM的解析式中即可求出QP的长，然后根据梯形的面积计算公式即可求出梯形QOCP的面积．然后根据四边形QACP的面积计算方法即可得出S，t的函数关系式．
（3）可分三种情况进行讨论：
①NM=MC；②NM=NC；③MC=NC．可根据直线BM的解析式设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式表示出各线段的长，根据上面不同的等量关系式可得出不同的方程，经过解方程即可得出N点的坐标．
解答：解：（1）由题意可知：抛物线的对称轴为x=1．
当x=1时，y=3x-7=-4，因此抛物线的顶点M的坐标为（1，-4）．
当x=4时，y=3x-7=5，因此直线y=3x-7与抛物线的另一交点为（4，5）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4，
则有：a（4-1）2-4=5，a=1．
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3．
（2）根据（1）的抛物线可知：A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）；
易知直线BM的解析式为y=2x-6；
当x=t时，y=2t-6；
因此PQ=6-2t；
∴S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=
×（3+6-2t）×t+×3即：S四边形PQAC=-t2+
t+（1＜t＜3）．（3）假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．
∵点N在BM上，不妨设N点坐标为（m，2m-6），
则CM2=12+12=2，CN2=m2+[3-（6-2m）]2，或CN2=m2+[（6-2m）-3]2．
MN2=（m-1）2+[4-（6-2m）]2．
△NMC为等腰三角形，有以下三种可能：
①若CN=CM，则m2+[（6-2m）-3]2=2，
∴m1=
，m2=1（舍去）．∴N（
，-）．②若MC=MN，则（m-1）2+[4-（6-2m）]2=12+12．
∴m=1±
．∵1＜m＜3，
∴m=1-
舍去．∴N（1+
，-4）．③若NC=NM，则m2+[3-（6-2m）]2=（m-1）2+[4-（6-2m）]2．
解得m=2．
∴N（2，-2）．
故假设成立．
综上所述，存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．且点N的坐标分别为：
N1（
，-），N2（1+，-4），N3（2，-2）．点评：本题主要考查了二次函数解析式、图形面积的求法、函数图象的交点、等腰三角形的构成等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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