Question

阅读下列材料并填空．
平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过其中的每两点画直线，一共能作出多少条不同的直线？
①分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…
②归纳：考察点的个数和可连成直线的条数S_n发现：如下表

点的个数	可作出直线条数
2	1=S2= 2×1 2
3	3=S3= 3×2 2
4	6=S4= 4×3 2
5	10=S5= 5×4 2
…	…
n	Sn= n(n-1) 2

③推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n-1）种取法，所以一共可连成n（n-1）条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即S_n=

n(n-1)

2

④结论：S_n=

n(n-1)

2

试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？
（1）分析：
当仅有3个点时，可作出

 

个三角形；
当仅有4个点时，可作出

 

个三角形；
当仅有5个点时，可作出

 

个三角形；
…
（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数S_n，发现：（填下表）

点的个数	可连成三角形个数
3
4
5
…
n

（3）推理：
（4）结论：

Answer 1

分析：由于平面上有n个点，过不在同一条直线上的三点可以确定一个三角形，取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n-1）种取法，取第三个点C有（n-2）种取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）个三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一个三角形，故应除以6，故可得答案．

解答：解：（1）当仅有3个点时，可作1个三角形；
当有4个点时，可作4个三角形；
当有5个点时，可作10个三角形．
（2）填表如下：

点的个数	可连成三角形个数
3	1=S3= 3×2×1 6
4	4=S4= 4×3×2 6
5	10=S5= 5×4×3 6
n	Sn= n(n-1)(n-2) 6

（3）推理：平面上有n个点，过不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形，取第一个点A有n种方法，取第二个点有B有（n-1）种取法，取第三个点C有（n-2）种取法，
所以一共可以作n（n-1）（n-2）个三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一个三角形，
故应除以6，
即S_n=

n(n-1)(n-2)

6

．

（4）结论：S_n=

n(n-1)(n-2)

6

．

点评：本题考查了规律型：图形的变化，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．