Question

如图，在△ABC中，D为AB边上一点、F为AC的中点，过点C作CE//AB交DF的延长线于点E，连结AE．
（1）求证：四边形ADCE为平行四边形．
（2）若EF=2，，求DC的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）2+.

试题分析：（1）首先证明△DAF≌△ECF，则AD=CE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得.
（2）作FH⊥DC于点H，在Rt△DFH中利用三角函数求得FH的长，在Rt△CFH中利用勾股定理即可求解．
试题解析：（1）∵CE//AB，∴∠DAF=∠ECF．
∵F为AC的中点，∴AF=CF．
∵在△DAF和△ECF中 ，
∴△DAF≌△ECF（SAS）．∴AD=CE．
∵CE//AB，∴ 四边形ADCE为平行四边形．
（2）如图，过点F作FH⊥DC于点H．
∵ 四边形ADCE为平行四边形．
∴ AE//DC，DF= EF=2， ∴∠FDC =∠AED=45°．
在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF=2，∠FDC=45°，
∴ sin∠FDC=，得FH=2，
tan∠FDC=，得DH=2．
在Rt△CFH中，∠FHC=90°，FH=2，∠FCD=30°，∴ FC=4．
由勾股定理，得HC=．
∴ DC=DH+HC=2+．