Question

（2013•怀柔区一模）已知关于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若二次函数y=kx²+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．

Answer 1

分析：（1）分k=0时，方程为一元一次方程，有解，k≠0时，表示出根的判别式，再根据非负数的性质判断出△≥0，得到一定有实数根；
（2）令y=0，解关于x一元二次方程，求出二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标都是整数求出k值为1；
（3）先根据（2）中的k值写出二次函数解析式并整理成顶点式形式，然后写出点P的坐标，然后写出直线OP的解析式，再根据平移的性质设平移后的抛物线顶点坐标为（h，

1

2

h），然后写出抛物线的顶点式形式为y=（x-h）²+

1

2

h，再分①抛物线经过点C时，然后把点C的坐标代入抛物线求出h的值，再根据函数图象写出h的取值范围；②直线与抛物线只有一个交点时，联立直线与抛物线解析式消掉未知数y，利用根的判别式△=0列式求出h的值，然后求出交点坐标，从而得解．

解答：（1）证明：①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根，
②当k≠0时，△=（3k+1）²-4k•3，
=9k²+6k+1-12k，
=9k²-6k+1，
=（3k-1）²≥0，
所以，方程有实数根，
综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）令y=0，则kx²+（3k+1）x+3=0，
解关于x的一元二次方程，得x₁=-3，x₂=-

1

k

，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k=1；

（3）由（2）得抛物线的解析式为y=x²+4x+3，
配方得y=（x+2）²-1，
∴抛物线的顶点M（-2，-1），
∴直线OD的解析式为y=

1

2

x，
于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，

1

2

h），
∴平移后的抛物线解析式为y=（x-h）²+

1

2

h，
①当抛物线经过点C时，令x=0，则y=9，
∴C（0，9），
∴h²+

1

2

h=9，
解得h=

-1± 145

4

，
∴当 

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，
消掉y得，x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0，
解得h=4，
此时抛物线y=（x-4）²+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意，
综上所述：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

．

点评：本题是二次函数的综合题型，主要考查了根的判别式，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，（3）根据CD是射线，要分情况讨论．