Question

自选题：
如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．

Answer 1

分析：（1）假设存在符合条件的Q点，由于PE⊥PC，且四边形ABCD是矩形，易证得△APE∽△DCP，可得AP•PD=AE•CD，同理可通过△AQE∽△DCQ得到AQ•QD=AE•DC，则AP•PD=AQ•QD，分别用PD、QD表示出AP、AQ，将所得等式进行适当变形即可求得AP、AQ的数量关系．
（2）由于BE的最大值为AB的长即2，因此只需求得BE的最小值即可；设AP=x，AE=y，在（1）题中已经证得AP•PD=AE•CD，用x、y表示出其中的线段，即可得到关于x、y的函数关系式，根据函数的性质即可求得y的最大值，由此可求得BE的最小值，即可得到BE的取值范围．

解答：解：（1）假设存在这样的点Q；
∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DPC+∠DCP=90°，
∴∠APE=∠DCP，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△APE∽△DCP，
∴

AP

DC

=

AE

DP

，
∴AP•DP=AE•DC；
同理可得AQ•DQ=AE•DC；
∴AQ•DQ=AP•DP，即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ²=3AP-AP²，
∴AP²-AQ²=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）；
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3（2分）
∵AP≠AQ，
∴AP≠

3

2

，即P不能是AD的中点，
∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在．
当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3．（1分）

（2）设AP=x，AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x（3-x）=2y，
∴y=

1

2

x（3-x）=-

1

2

x²+

3

2

x=-

1

2

（x-

3

2

）²+

9

8

，
∴当x=

3

2

（在0＜x＜3范围内）时，y_最大值=

9

8

；
而此时BE最小为

7

8

，
又∵E在AB上运动，且AB=2，
∴BE的取值范围是

7

8

≤BE＜2．（2分）

点评：此题主要考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数最值的应用；（1）题中，通过两步相似得到与所求相关的乘积式，并能正确地进行化简变形是解决此题的关键．