题目内容
【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC为半径,作⊙A交AB于点D,交CA的延长线于点E,过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F,连接AF、BF,DF.
(1)求证:BF⊥AF;
(2)当∠CAB等于多少度时,四边形ADEF为菱形?请给予证明.
【答案】
(1)证明:∵EF∥AB,
∴∠E=∠CAB,∠EFA=∠FAB,
∵∠E=∠EFA,
∴∠FAB=∠CAB,
在△ABC和△ABF中, ,
∴△ABC≌△ABF(SAS),
∴∠AFB=∠ACB=90°,
∴BF⊥AF;
(2)解:当∠CAB=60°时,四边形ADFE为菱形.理由如下:
∵∠CAB=60°,
∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°,
∴EF=AD=AE,
∴四边形ADFE是菱形.
【解析】(1)首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB,然后利用SAS证得两三角形全等,得出对应角相等即可;(2)当∠CAB=60°时,四边形ADFE为菱形,根据∠CAB=60°,得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°,从而得到EF=AD=AE,利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形.
【考点精析】通过灵活运用菱形的判定方法和垂径定理,掌握任意一个四边形,四边相等成菱形;四边形的对角线,垂直互分是菱形.已知平行四边形,邻边相等叫菱形;两对角线若垂直,顺理成章为菱形;垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧即可以解答此题.

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