题目内容
【题目】如图,⊙M的圆心M(﹣1,2),⊙M经过坐标原点O,与y轴交于点A,经过点A的一条直线l解析式为:y=﹣ x+4与x轴交于点B,以M为顶点的抛物线经过x轴上点D(2,0)和点C(﹣4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:直线l是⊙M的切线;
(3)点P为抛物线上一动点,且PE与直线l垂直,垂足为E,PF∥y轴,交直线l于点F,是否存在这样的点P,使△PEF的面积最小?若存在,请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)(x+4),将点M的坐标代入得:﹣9a=2,解得:a=﹣ .
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+
(2)
解:连接AM,过点M作MG⊥AD,垂足为G.
把x=0代入y=﹣ x+4得:y=4,
∴A(0,4).
将y=0代入得:0=﹣ x+4,解得x=8,
∴B(8,0).
∴OA=4,OB=8.
∵M(﹣1,2),A(0,4),
∴MG=1,AG=2.
∴tan∠MAG=tan∠ABO= .
∴∠MAG=∠ABO.
∵∠OAB+∠ABO=90°,
∴∠MAG+∠OAB=90°,即∠MAB=90°.
∴l是⊙M的切线
(3)
解:∵∠PFE+∠FPE=90°,∠FBD+∠PFE=90°,
∴∠FPE=∠FBD.
∴tan∠FPE= .
∴PF:PE:EF= :2:1.
∴△PEF的面积= PEEF= × PF PF= PF2.
∴当PF最小时,△PEF的面积最小.
设点P的坐标为(x,﹣ x2﹣ x+ ),则F(x,﹣ x+4).
∴PF=(﹣ x+4)﹣(﹣ x2﹣ x+ )=﹣ x+4+ x2+ x﹣ = x2﹣ x+ = (x﹣ )2+ .
∴当x= 时,PF有最小值,PF的最小值为 .
∴P( , ).
∴△PEF的面积的最小值为= ×( )2=
【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)(x+4),将点M的坐标代入可求得a的值,从而得到抛物线的解析式;(2)连接AM,过点M作MG⊥AD,垂足为G.先求得点A和点B的坐标,可求得,可得到AG、ME、OA、OB的长,然后利用锐角三角函数的定义可证明∠MAG=∠ABD,故此可证明AM⊥AB;(3)先证明∠FPE=∠FBD.则PF:PE:EF= :2:1.则△PEF的面积= PF2 , 设点P的坐标为(x,﹣ x2﹣ x+ ),则F(x,﹣ x+4).然后可得到PF与x的函数关系式,最后利用二次函数的性质求解即可.
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.