题目内容
（2012•孝感模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-
x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y
=-x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P（x，y）是在第一象限内该抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②当x=
（3）连接PC，在（2）的条件下，解答下列问题：
①请用含x的式子表示线段BN的长度：BN=
②若PC⊥BC，试求出此时点M的坐标．
| 3 |
| 4 |
=-x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P（x，y）是在第一象限内该抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②当x=
1或3
1或3
时，P、C、O、N四点能围成平行四边形．（3）连接PC，在（2）的条件下，解答下列问题：
①请用含x的式子表示线段BN的长度：BN=
5-
x
| 5 |
| 4 |
5-
x
；| 5 |
| 4 |
②若PC⊥BC，试求出此时点M的坐标．
分析：（1）利用一次函数求出点B、C的坐标，然后利用待定系数发求解二次函数解析式即可；
（2）①根据二次函数解析式设出点P的坐标，根据直线BC解析式设出点N的坐标，然后根据PN=PM-NM，可得出PN的表达式，利用配方法可求出最大值．
②根据PN∥OC，可得出要使PCON围成平行四边形，则PN=CO，结合①PN的表达式可建立方程，解出即可得出答案．
（3）①根据△BNM∽△BCO，利用相似三角形的对应边成比例可得出BN的关于x的表达式；
②先判断出△PCN∽△BOC，然后利用利用对应边成比例可得出方程，解出即可得出x的值，也可确定点M的坐标．
（2）①根据二次函数解析式设出点P的坐标，根据直线BC解析式设出点N的坐标，然后根据PN=PM-NM，可得出PN的表达式，利用配方法可求出最大值．
②根据PN∥OC，可得出要使PCON围成平行四边形，则PN=CO，结合①PN的表达式可建立方程，解出即可得出答案．
（3）①根据△BNM∽△BCO，利用相似三角形的对应边成比例可得出BN的关于x的表达式；
②先判断出△PCN∽△BOC，然后利用利用对应边成比例可得出方程，解出即可得出x的值，也可确定点M的坐标．
解答：解：（1）由于直线y=-
x+3经过B、C两点，令y=0得x=4；令x=0，得y=3，
故可得：B（4，0），C（0，3），
∵点B、C在抛物线y=-x2+bx+c上，于是得
，
解得：b=
，c=3，
∴所求函数关系式为y=-x2+
x+3．
（2）①∵点P（x，y）在抛物线y=-x2+
x+3上，且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为（x，-x2+
x+3）同理可设点N的坐标为（x，-
x+3），
又∵点P在第一象限，
∴PN=PM-NM=（-x2+
x+3）-（-
x+3）=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴当x=2时，
线段PN的长度的最大值为4．
②因为PN∥CO，要使PCON围成平行四边形，则PN=CO，
由①得：PN=-x2+4x，故可得：-x2+4x=3，
解得：x=1或3．
（3）
①∵△BNM∽△BCO，
∴
=
，即
=
，
解得：BN=5-
x．
②由PC⊥BC得∠PCN=∠COB=90°，
又∵∠PNC=∠OCB（由PN∥OC得出），
∴△PCN∽△BOC，
∴
=
，即
=
，
解得：x=
或x=0（舍去），
故此时点M的坐标为（
，0）．
| 3 |
| 4 |
故可得：B（4，0），C（0，3），
∵点B、C在抛物线y=-x2+bx+c上，于是得
|
解得：b=
| 13 |
| 4 |
∴所求函数关系式为y=-x2+
| 13 |
| 4 |
（2）①∵点P（x，y）在抛物线y=-x2+
| 13 |
| 4 |
∴设点P的坐标为（x，-x2+
| 13 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
又∵点P在第一象限，
∴PN=PM-NM=（-x2+
| 13 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴当x=2时，
线段PN的长度的最大值为4．
②因为PN∥CO，要使PCON围成平行四边形，则PN=CO，
由①得：PN=-x2+4x，故可得：-x2+4x=3，
解得：x=1或3．
（3）
①∵△BNM∽△BCO，∴
| MN |
| OC |
| BN |
| BC |
-
| ||
| 3 |
| BN |
| 5 |
解得：BN=5-
| 5 |
| 4 |
②由PC⊥BC得∠PCN=∠COB=90°，
又∵∠PNC=∠OCB（由PN∥OC得出），
∴△PCN∽△BOC，
∴
| PN |
| BC |
| CN |
| OC |
| -x2+4x |
| 5 |
| ||
| 3 |
解得：x=
| 23 |
| 12 |
故此时点M的坐标为（
| 23 |
| 12 |
点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题需要我们熟练各个知识点的内容，认真探究题目，谨慎作答．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
（2012•孝感模拟）如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=59°，则∠AED的度数为