Question

为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得AB=10cm，则铁环的半径是    ．

Answer 1

【答案】分析：由铁环与桌面及AE边相切，根据切线的性质得到OB与AB垂直，OC与AC垂直，再由AB与AC都为圆O的切线，根据切线长定理得到OA为角平分线，可得出∠AOB=∠AOC，再由一对直角相等，根据三角形的内角和定理得出∠OAB=∠OAC，由直角三角形AED中∠E=30°，根据直角三角形的两锐角互余得到求出∠EAD的度数，进而得出邻补角∠BAC的度数，确定出∠OAB的度数，在直角三角形OAB中，由AB的长及tan∠OAB的值，利用锐角三角函数定义求出OB的长，即为圆O的半径．
解答：解：如图所示：连接OB，OC，OA，

∵AB为圆O的切线，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
又AC为圆O的切线，
∴OC⊥AC，即∠OCA=90°，
在Rt△ADE中，∠E=30°，∠ADE=90°，
∴∠EAD=60°，∠BAC=120°，
∵AC及AB为圆O的切线，
∴OA为∠BOC的平分线，即∠BOA=∠COA，
又∠OBA=∠OCA=90°，
∴∠OAB=∠OAC=∠BAC=60°，
在Rt△OBA中，∠OBA=90°，∠OAB=60°，AB=10cm，
∴tan60°=，即=，
则圆的半径OB=10cm．
故答案为：10cm
点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及三角形的内角和定理，是一道与实际生活密切相关的题型，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．