Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），以OA为一边在第四象限内画正方形OABC，D（m，0）为x轴上的一个动点（m＞2），以BD为一直角边在第四象限内画等腰直角△BDE，其中∠DBE=90°．

（1）试判断线段AE、CD的数量关系，并说明理由；

（2）设DE的中点为F，直线AF交y轴于点G．问：随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE=CD，理由详见解析；（2）点G的位置不会发生变化，理由详见解析．

【解析】

（1）由正方形OABC，可得BC=BA，∠ABC=90°，由等腰直角三角形BDE，可得BD=BE，∠DBE=90°，再根据∠CBD=∠ABE，即可得到△CBD≌△ABE，进而得出CD=AE；

（2）过点E作PQ∥OD，分别交直线AB，AF于点P，Q，判定△ADB≌△PBE，可得AD=PB，AB=PE，判定△ADF≌△QEF，可得AD=QE，依据AP=QP，可得∠AQP=45°，依据PQ∥OD，可得∠OAG=∠Q=45°，进而得到△AOG是等腰直角三角形，进而得到G（0，2），即点G的位置不会发生变化．

（1）AE=CD．

理由：由正方形OABC，可得BC=BA，∠ABC=90°，

由等腰直角三角形BDE，可得BD=BE，∠DBE=90°，

∴∠ABC+∠ABD=∠DBE+∠ABD，

即∠CBD=∠ABE，

∴△CBD≌△ABE，

∴CD=AE；

（2）点G的位置不会发生变化．

理由：如图，过点E作PQ∥OD，分别交直线AB，AF于点P，Q，

∵∠DAB=∠P=∠DBE=90°，

∴∠ADB+∠ABD=∠PBE+∠ABD=90°，

∴∠ADB=∠PBE，

又∵DB=BE，

∴△ADB≌△PBE，

∴AD=PB，AB=PE，

∵F是DE的中点，

∴DF=EF，

∵AD∥EQ，

∴∠DAF=∠Q，

又∵∠AFD=∠QFE，

∴△ADF≌△QEF，

∴AD=QE，

∴AB+BP=PE+EQ，即AP=QP，

∴∠AQP=45°，

又∵PQ∥OD，

∴∠OAG=∠Q=45°，

∴△AOG是等腰直角三角形，

∴GO=AO=2，

∴G（0，2），即点G的位置不会发生变化．