题目内容
【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t≤5）．线段CM的长度记作y甲，线段BP的长度记作y乙，y甲和y乙关于时间t的函数变化情况如图所示．
（1）由图2可知，点M的运动速度是每秒 cm，当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？在图2中反映这一情况的点是 ；
（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=
S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）2，E（
，）；（2）y=
t2﹣8t+40；（3）存在；（4）t=
s时，点M在线段PC的垂直平分线上．
【解析】试题分析：（1）先由图2判断出点M的速度为2cm/s，PQ的运动速度为1cm/s，再由四边形PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；
（2）根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知△BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，再用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE=DF=8-t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式；
（3）根据三角形的面积公式，先求出三角形ABC的面积，又根据S四边形PQCM=
S△ABC，求出四边形PQCM的面积，从而得到了y的值，代入第二问求出的y与t的解析式中求出t的值即可；
（4）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP=MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值．
试题解析：（1）由图2得，点M的运动速度为2cm/s，PQ的运动速度为1cm/s，
∵四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，
∴AP：AB=AM：AC，
∵AB=AC，
∴AP=AM，即10﹣t=2t，
解得：t=，
∴当t=时，四边形PQCM是平行四边形，此时，图2中反映这一情况的点是E（ ，）
故答案为：2，E（，）．
（2）∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ为等腰三角形，PQ=PB=t，
∴
，即
，
解得：BF=
t，
∴FD=BD﹣BF=8﹣t，
又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t，
∴y= （PQ+MC）FD=（t+10﹣2t）（8﹣t）=t2﹣8t+40；
（3）存在；
∵S△ABC=ACBD=×10×8=40，
当S四边形PQCM=S△ABC时，y= t2﹣8t+40=20，
解得：t=10﹣5
，或t=10+5（不合题意，舍）；
即：t=10﹣5时，S四边形PQCM=S△ABC．
（4）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC，
过M作MH⊥AB，交AB与H，如图所示：
∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴
，
又∵AD=6，
∴
，
∴HM=
t，AH=
t，
∴HP=10﹣t﹣t=10﹣
t，
在Rt△HMP中，MP2=（t）2+（10﹣t）2=
t2﹣44t+100，
又∵MC2=（10﹣2t）2=100﹣40t+4t2，
∵MP2=MC2，
∴t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2，
解得 t1= ，t2=0（舍去），
∴t=s时，点M在线段PC的垂直平分线上．
