题目内容
已知,凸4n+2边形A1A2…A4n+2(n是非零自然数)各内角都是30°的整数倍,又关于x的方程:
均有实根,求这凸4n+2边形各内角的度数.
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∵各内角只能是30°,60°,90°,120°,150°,
∴正弦值只能取
,
,1,
若sinA1=
,
∵sinA2≥
,sinA3≥
,
∴方程①的判别式△1=4(sin2A1-sinA2)≤4(
-
)<0,
方程①无实根,与已知矛盾,
故sinA1≠
,
同理sinA2≠
,sinA3≠
,
若sinA1=
,则sinA2≥
,sinA3≥
,
∴方程①的判别式△1=4(sin2A1-sinA2)=4•(
-
)<0,方程①无实根,与已知矛盾,
∴sinA1≠
,同理sinA2≠
,sinA3≠
,
综上,sinA1=1,A1=90°,
这样,其余4n-1个内角之和为4n×180°-3×90°=720°•n-270°,这些角均不大于150°,
∴720°•n-270°≤(4n-1)•150°,
故n≤1,又n为正整数,
∴n=1,即多边形为凸六边形,且A4+A5+A6=4×180°-3×90°=450°,
∵A4,A5,A6≤150°,
∴A4=A5=A6=150°.
∴正弦值只能取
1 |
2 |
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2 |
若sinA1=
1 |
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∵sinA2≥
1 |
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1 |
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∴方程①的判别式△1=4(sin2A1-sinA2)≤4(
1 |
4 |
1 |
2 |
方程①无实根,与已知矛盾,
故sinA1≠
1 |
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同理sinA2≠
1 |
2 |
1 |
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若sinA1=
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2 |
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2 |
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∴方程①的判别式△1=4(sin2A1-sinA2)=4•(
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∴sinA1≠
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2 |
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综上,sinA1=1,A1=90°,
这样,其余4n-1个内角之和为4n×180°-3×90°=720°•n-270°,这些角均不大于150°,
∴720°•n-270°≤(4n-1)•150°,
故n≤1,又n为正整数,
∴n=1,即多边形为凸六边形,且A4+A5+A6=4×180°-3×90°=450°,
∵A4,A5,A6≤150°,
∴A4=A5=A6=150°.
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