题目内容
已知,凸4n+2边形A1A2…A4n+2(n是非零自然数)各内角都是30°的整数倍,
又关于x的方程
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均有实根,求这凸4n+2边形各内角的度数.
解析 ∵各内角只能是30°,60°,90°,120°,150°,
∴正弦值只能取,,1.
若sinA1=,∵sinA2≥,sinA3≥,
∴ 方程①的判别式△1=4(sin2A1-sinA2)≤4(-)<0.
方程①无实根,与已知矛盾,
故sinA1≠.
同理sinA2≠,sinA3≠;
若sinA1=,则sinA2≥,sinA3≥,
∴方程①的判别式△1=4(sin2A1-sinA2)=4·(-)<0,方程①无实根,与已知矛盾.
∴sinA1≠,同理sinA2≠,sinA3≠.
综上,sinA1=1,A1=90°.
这样,其余4n-1个内角之和为 4n×180°-3×90°=720°·n-270°,这些角均不大于150°,
∴720°·n-270°≤(4n-1)·150°,故n≤1.
又n为正整数,∴n=1.即多边形为凸六边形,且A4+A5+A6=4×180°-3×90°=450°.
∵A4,A5,A6≤150°,
∴A4=A5=A6=150°.
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