Question

（本题满分8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，AC、BD交于点E．
（1）求证：△CBE∽△CAB；
（2）若S_△CBE∶S_△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．

Answer 1

（1）证明：∵点C为弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，

在△CBE与△CAB中；
∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，
∴△CBE∽△CAB．         ……4分
（2）解：连接OC交BD于F点，则OC垂直平分BD
∵S_△CBE：S_△CAB＝1:4，△CBE∽△CAB
∴AC：BC＝BC：EC＝2:1，∴AC＝4EC
∴AE：EC＝3：1
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∴AD∥OC，则AD：FC＝AE：EC＝3:1
设FC＝a，则AD＝3a，   
∵F为BD的中点，O为AB的中点，
∴OF是△ABD的中位线，则OF＝AD＝1.5a， 
∴OC＝OF+FC＝1.5a+a＝2.5a，则AB＝2OC＝5a，
在Rt△ABD中，sin∠ABD＝＝   …………………………8分
（本题方法众多，方法不唯一，请酌情给分）

解析