已知抛物线C1与x轴的一个交点为交于.对称轴为x=-1.5.并过点.(1)求抛物线C1的解析式,(2)求出与抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式.并在C1所在的平面直角坐标系中画出C2的图象,的条件下.抛物线C1与抛物线C2与相交于A.B两点.①求出点A和点B的坐标,②点P在抛物线C1上.且位于点A和点B之间,点Q在抛物线C2上.也位于点A和点B之间.当PQ∥y轴时.求PQ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知抛物线C₁与x轴的一个交点为交于（-4，0），对称轴为x=-1.5，并过点（-1，6），
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）求出与抛物线C₁关于原点对称的抛物线C₂的解析式，并在C₁所在的平面直角坐标系中画出C₂的图象；
（3）在（2）的条件下，抛物线C₁与抛物线C₂与相交于A，B两点（点A在点B的左侧），
①求出点A和点B的坐标；
②点P在抛物线C₁上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C₂上，也位于点A和点B之间、当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．

分析：（1）根据抛物线的对称轴，可求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标，然后用待定系数法求解即可．
（2）将C₁的解析式化为顶点坐标式，即可得到抛物线C₁的顶点坐标，若C₁、C₂关于原点对称，那么它们的顶点坐标也关于原点对称，而二次项系数互为相反数，可据此求出C₂的解析式，进而画出它的图象．
（3）①联立抛物线C₁、C₂的解析式，即可求得A、B的坐标；
②设出点P的横坐标，根据两个抛物线的解析式，可得到P、Q两点的纵坐标，即可得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得PQ的最大长度．

解答：

解：（1）∵抛物线C₁交x轴于（-4，0），对称轴为x=-1.5，
∴抛物线C₁与x轴的另一个交点为（1，0）；
设C₁的解析式为：y=a（x+4）（x-1），则有：
a（-1+4）（-1-1）=6，
解得a=-1，
∴y=-（x+4）（x-1），即C₁：y=-x²-3x+4．

（2）由（1）知，抛物线C₁：y=-x²-3x+4=-（x+

）²+

；
由于C₁、C₂关于原点对称，则抛物线C₂：y=（x-

）²-

，
其图象如图所示：

（3）①联立抛物线C₁、C₂的解析式，可得：

y=-x2-3x+4

y=x2-3x-4

，
解得

x=-2

y=6

，

x=2

y=-6

；
故A（-2，6）；B（2，-6）；
②设P（a，b），则-2≤a≤2，y_p=b=-a²-3a+4，
因为PQ∥y轴，
所以点Q的横坐标为a，则y_Q=a²-3a-4，
所以PQ=y_p-y_Q=-2a²+8，
即当a=0时，PQ的最大值为8．

点评：此题考查了二次函数的对称性、函数解析式的确定、函数图象的几何变换以及函数图象交点坐标的求法、二次函数最值的应用等知识，涉及的知识点较多，难度中上．

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已知抛物线C₁与x轴的一个交点为交于（-4，0），对称轴为直线x=-1.5，
并过点（-1，6）
【小题1】求抛物线C₁的解析式；
【小题2】求出与抛物线C₁关于原点对称的抛物线C₂的解析式，并在C₁所在的平面直角坐标系中画出C₂的图像；
【小题3】在（2）的条件下，抛物线C₁与抛物线C₂与相交于Ａ，Ｂ两点（点A在点B的左侧）．
①求出点A和点B的坐标；
②点P在抛物线上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线上，也位于点A和点B之间．当PQ∥轴时，求PQ长度的最大值．

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