Question

【题目】在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC外作∠ACM= ∠ABC，点D为直线BC上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F.

（1）①当点D在线段BC上时，如图1所示，求∠EDC的度数

②探究线段DF与EC的数量关系，并证明；

（2）当点D运动到CB延长线上时，请你画出图形，并证明此时DF与EC的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）①22.5°；②DF=2CE，.理由见解析； （2）解：DF=2CE；理由见解析.

【解析】

（1）①由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠BCM=67.5°，即可得出∠EDC的度数；
②作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，证明PD=CD，得出PC=2CE，由ASA证明△DNF≌△PNC，得出DF=PC，即可得出结论；
（2）作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，证明PD=CD，得出PC=2CE，由ASA证明△DNF≌△PNC，得出DF=PC，即可得出结论．

（1）解：①如图1所示：

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠ACM= ∠ABC=22.5°，

∴∠BCM=67.5°，

∵DE⊥CM，

∴∠EDC=90°-∠BCM=22.5°；

②DF=2CE.理由如下：

证明：作∠PDE=22.5°，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，如图2所示：

∵DE⊥PC，∠ECD=67.5°，

∴∠EDC=22.5°，

∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，

∴∠DPC=67.5°

∴PD=CD，

∴PE=EC，

∴PC=2CE，

∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，

∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，

∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，

在△DNF和△PNC中，

，

∴△DNF≌△PNC（ASA），

∴DF=PC，

∴DF=2CE

（2）解：DF=2CE；理由如下：

证明：作∠PDE=22.5°，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，如图3所示：

∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，

∴∠EDC=22.5°，

∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，

∴∠DPC=67.5°

∴PD=CD，

∴PE=EC，

∴PC=2CE，

∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，

∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，

∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，

在△DNF和△PNC中，

，

∴△DNF≌△PNC（ASA），

∴DF=PC，

∴DF=2CE.