题目内容

【题目】已知抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b(a0,b>0)的顶点为M,经过原点O且与x轴另一交点为A.

(1)求点A的坐标;

(2)若AMO为等腰直角三角形,求抛物线C1的解析式;

(3)现将抛物线C1绕着点P(m,0)旋转180°后得到抛物线C2,若抛物线C2的顶点为N,当b=1,且顶点N在抛物线C1上时,求m的值.

【答案】(1)、(-4,0);(2)、y=x22x;(3)、m=2+2

【解析】

试题分析:(1)、由抛物线经过原点可知当x=0时,y=0,由此可得关于x的一元二次方程,解方程即可求出抛物线x轴另一交点坐标;(2)、由AMO为等腰直角三角形,抛物线的顶点为M,可求出b的值,再把原点坐标(0,0)代入求出a的值,即可求出抛物线C1的解析式;(3)、由b=1,易求线抛物线C1的解析式,设N(n,1),再由点P(m,0)可求出n和m的关系,当顶点N在抛物线C1上可把N的坐标代入抛物线即可求出m的值.

试题解析:(1)、抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b(a0,b>0)经过原点O, 0=4a+b,

当ax2+4ax+4a+b=0时,则ax2+4ax=0, 解得:x=0或4,抛物线与x轴另一交点A坐标是(4,0);

(2)、抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b(a0,b>0),(如图1) 顶点M坐标为(2,b),

∵△AMO为等腰直角三角形, b=2, 抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b过原点,

a(0+2)2+2=0, 解得:a= 抛物线C1:y=x22x;

(3)、b=1,抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b过原点,(如图2) a=

y=(x+2)2+1=x2x, 设N(n,1),又因为点P(m,0), nm=m+2,

n=2m+2 即点N的坐标是(2m+2,1), 顶点N在抛物线C1上, ∴﹣1=(2m+2+2)2+1,

解得:m=2+2

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