Question

如图1，以△ABC的边AB，AC为腰向外作等腰三角形ABE和ACD，且AB=AE，AC=AD，M为BC边的中点，MA的延长线交DE于N
（1）当∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°时，线段AM线段DE的关系是

DE=2AM且AM⊥DE

．
（2）如图2，当∠BAC≠90°时，探究线段AM与线段DE的关系．
（3）如图3，当∠BAC≠90°时，∠BAE=α°，∠CAD=（180-α）°，则线段DE与AM的大小关系怎样？其夹角∠DNM是多少？请给出证明．

Answer 1

分析：（1）先根据SAS证明△ABC≌△AED，得出BC=ED，∠ABM=∠AEN，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BC=2AM，即DE=2AM；又由∠ABM=∠BAM，∠BAM+∠EAN=90°，得出∠AEN+∠EAN=90°，从而证明出AM⊥DE；
（2）延长AM到K，使MK=AM，连BK，根据SAS证明△ADE≌△BAK，得出DE=AK=2AM，∠BAK=∠AED，再证明∠AED+∠EAN=90°，从而有AM⊥DE；
（3）延长AM到P，使MP=MA，连接BP．根据SAS先证明△BMP≌△CMA，再证明△ABP≌△EAD，然后根据全等三角形的性质PA=DE=2AM，∠BPA=∠ADE=∠CAM，从而得出∠DNM=∠DAC=（180-α）°．

解答：解：（1）DE=2AM且AM⊥DE．理由如下：
∵AB=AE，∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°，AC=AD，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC=ED，∠ABM=∠AEN，
∵M为BC边的中点，
∴BC=2AM，
∴DE=2AM；
∴AM=BM=CM，
∴∠ABM=∠BAM，
∴∠BAM=∠AEN，
∵∠BAM+∠EAN=90°，
∴∠AEN+∠EAN=90°，
∴∠ANE=90°，
∴AM⊥DE；
即DE=2AM，AM⊥DE；

（2）DE=2AM且AM⊥ED．理由如下：
延长AM到K，使MK=AM，连BK，则ABKC是平行四边形，
∴AC=BK，∠ABK+∠BAC=180°，
∵∠DAC=∠EAB=90°，
∴∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABK=∠DAE，
又∵BK=AD，AB=AE，
∴△ABK≌△EAD（SAS），
∴AK=DE，∠BAK=∠AED．
∴DE=2AM，
∠AED+∠EAN=∠BAK+∠EAN=90°，
∴AM⊥DE，
即DE=2AM且AM⊥ED；

（3）DE=2AM，∠DNM=（180-α）°．理由如下：
延长AM到P，使MP=MA，连接BP．
又∵BM=CM，∠BMP=∠CMA，
∴△BMP≌△CMA（SAS），
∴BP=AC=AD；∠BPM=∠CAM；
且∠PBM=∠ACM，
∴BP∥AC，∠ABP+∠BAC=180°，
又∵∠BAE+∠CAD=α°+（180-α）°=180°，
∴∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABP=∠DAE，
又∵BP=AD，AB=AE，
∴△ABP≌△EAD（SAS），
∴PA=DE，∠BPA=∠ADE=∠CAM，
∴DE=2AM，
∠DNM=180度-（∠ADE+∠DAN）=180度-（∠CAM+∠DAN）=∠DAC=（180-α）°．
即DE=2AM，∠DNM=（180-α）°．
故答案为：DE=2AM且AM⊥DE．

点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，从第一问到第三问，由特殊到一般，由浅入深，训练了学生思维，考查了学生分析问题、归纳问题、解决问题的能力．