Question

如图，一个半径为2

2

的圆经过一个半径为4的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为

8

．

Answer 1

分析：连接AC，BC，DC，AB，求出AD和DC的平方和，求出AC的平方，根据勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，同理求出∠BDC=90°，推出A、D、B三点共线，即AB过D，根据AD=DC=BD求出∠ACB=90°，根据扇形ACB的面积和三角形ACB的面积求出弓形AmB的面积，求出半圆D的面积减去弓形AmB的面积即可得出答案．

解答：解：
连接AC，BC，DC，AB，
∵⊙D过⊙C的圆心C，⊙D和⊙C交于A、B，
∴AD=BD=DC=2

2

，AC=4，
AD²+DC²=AC²=16，
∴∠ADC=90°，
同理∠BDC=90°，
∴A、D、B三点共线，
即D在两圆的公共弦AB上，
∵AD=CD=BD，
∴∠ACB=90°，
∴S_弓形AmB=S_扇形ACB-S_△ACB=

90π×42

360

-

1

2

×（2

2

+2

2

）×2

2

=4π-8，
∴阴影部分的面积是

1

2

×π×(2

2

)2-（4π-8）=8，
故答案为：8．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形的判定、扇形的面积、三角形的面积、平角的定义、相交两圆的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．