Question

如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，将正方形进行翻折，使点A与点E重合．
（1）在图中作出折痕MN（要求尺规作图并保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）设M在CD上，N在AB上．若tan∠AEN=

1

3

，DC+CE=10，求△NAE的面积．

Answer 1

分析：（1）连接AE，作AE的垂直平分线交CD于M，交AB于N，则MN为所求的折痕；
（2）连接NE，设MN于AEJ交于点G，要求△ANE的面积，就要求出这个三角形的底和高，由已知条件tan∠AEN的值，DC+CE=10，又因为∠AEN=∠EAN，所以可以先设BE=a，从而求出AB=3a，CE=2a进而求出a的值，进而求出BE，AB，CD的值，再利用勾股定理求出AN的值，利用三角形的面积公式即可求出△NAE的面积．

解答：解：（1）如图所示：

（2）由折叠可知：MN为AE的垂直平分线，
∴AN=EN，
∴∠EAN=∠AEN（等角对等边），
∴tan∠AEN=tan∠EAN=

1

3

，
∴设BE=a，AB=3a，则CE=2a，
∵DC+CE=10，
∴3a+2a=10，
∴a=2，
∴BE=2，AB=6，CE=4，
∵AE=

4+36

=2

10

，
又∵

NG

AG

=

1

3

，
∴NG=

10

3

，
∴AN=

( 10 )2+( 10 3 )2

=

10

3

，
∴AN=NE=

10

3

，
∴S_△ANE=

1

2

×

10

3

×2=

10

3

．

点评：此图形较为复杂，要做好此题，首先要理清图中边角的关系，另外此题假设BE=a也是一个关键，考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．