(2012•北辰区一模)已知二次函数y=2x2+2mx+m-1．(1)①若函数图象的对称轴为直线x=-1.求m的值,②若x≥-1时.函数值y随x的增大而增大.求m的取值范围,(2)设抛物线与x轴的一个交点为(x1.0).①当x1=-2时.求m的值,②当-3＜x1＜-2时.求m的取值范围,(3)①若函数的最小值为-1.求m的值,②当2≤x≤4时.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2012•北辰区一模）已知二次函数y=2x²+2mx+m-1．
（1）①若函数图象的对称轴为直线x=-1，求m的值；②若x≥-1时，函数值y随x的增大而增大，求m的取值范围；
（2）设抛物线与x轴的一个交点为（x₁，0），①当x₁=-2时，求m的值；②当-3＜x₁＜-2时，求m的取值范围；
（3）①若函数的最小值为-1，求m的值；②当2≤x≤4时，函数的最小值为-1，求m的值．

分析：（1）①根据对称轴的公式x=-

，即可得到一个关于m的方程，求得m的值；
②x≥-1时，函数值y随x的增大而增大，即-1在对称轴上，或对称轴的右侧，即-

≤-1，即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围；
（2）①（-2，0）是抛物线上的一点，代入函数的解析式，即可求得m的值；
②根据根的判别式可以得到抛物线与x轴一定有两个不同的交点，另一个交点不在-3＜x₁＜-2的范围内，因而在抛物线的解析式中，当x=-3和-2时，两个函数值一定异号，据此即可求得m的范围；
（3）①函数的最小值为-1，即函数的顶点的纵坐标是-1，即可列方程求得m的值；
②分最小值是函数的顶点的纵坐标，和不是纵坐标两种情况进行讨论，当不是顶点的纵坐标时，2≤x≤4则一定在对称轴的同一侧，则函数一定经过（2，-1）或（4，-1），代入函数解析式即可求解．

解答：

解：（1）①由-

2×2

=-1，得m=2；
②由题意，得-

2×2

≤-1，得m≥2．

（2）①把x₁=-2代入，得0=2（-2）²+2m（-2）+m-1，
解得m=

；
②△=（2m）²-8（m-1）=4（m-1）²+4＞0．
所以对任意的m值，抛物线与x轴都有两个交点．
设与x轴的另一个交点的横坐标为x₂，则|x1-x2|=

4(m-1)+4

≥

=1，
∴当由-3＜x₁＜-2时，x₂不在这个范围内．
由-3＜x₁＜-2，得

2(-2)2+2m(-2)+m-1＜0

2(-3)2+2m(-3)+m-1＞0.

或

2(-2)2+2m(-2)+m-1＞0

2(-3)2+2m(-3)+m-1＜0.

，解得

m＞

m＜

或

m＜

m＞

（无解）．
∴

＜m＜

．

（3）①

4×2(m-1)-(2m)2

4×2

=-1，
解得：m=0，m=2；
②但最小值为-1，是整个函数的最小值时，即①的情况，求得m=0或2，当m=0时，应该有当x=0时，又最小值是-1，故不合题意；
当m=2时，则抛物线的解析式是：y=2x²+4x+1，则当x=-1是，又最小值是-1；
因而2≤x≤4应该是对称轴一侧的点，
对称轴是x=-

，当2≤x≤4都在对称轴的右侧，则一定过点（2，-1），代入函数的解析式得：m=-

；
当2≤x≤4都在对称轴的左侧，则一定过点（4，-1），代入函数的解析式得：32+8m+3=-1，解得：m=-

，（与当2≤x≤4都在对称轴的右侧相矛盾，故舍去）．
总之，m=-

．

点评：本题考查了二次函数的性质，以及顶点坐标，正确利用数形结合的思想是解题的关键．