题目内容

【题目】如图,抛物线C1:y=﹣(x+3)2与x,y轴分别相交于点A,B,将抛物线C1沿对称轴向上平移,记平移后的抛物线为C2,抛物线C2的顶点是D,与y轴交于点C,射线DC与x轴相交于点E,

(1)求A,B点的坐标;

(2)当CE:CD=1:2时,求此时抛物线C2的顶点坐标;

(3)若四边形ABCD是菱形.

①此时抛物线C2的解析式;

②点F在抛物线C2的对称轴上,且点F在第三象限,点M在抛物线C2上,点P是坐标平面内一点,是否存在以A,F,P,M为顶点的四边形与菱形ABCD相似,并且这个菱形以A为顶点的角是钝角,若存在求出点F的坐标,若不存在请说明理由.

【答案】(1)A(﹣3,0),B(0,﹣4);(2)(3,2)(3,6)(3)

【解析】

试题分析:(1)利用坐标轴上点的特点,确定出点A,B的坐标;

(2)根据锐角三角函数的意义,和抛物线的平移,得到比例式,求出即可;

(3)①由点的移动情况判断出抛物线的移动情况;

②设出点的坐标,M(3+3a4a),表示出F(3,﹣5a).根据点在抛物线上,求出a,从而得到F的坐标.

试题解析:(1)令y=0,

y=﹣(x+3)2=0,

x=3,

令x=0,

y=4,

A(﹣3,0),B(0,﹣4);

(2)由(1)得:OA=3,OB=4,

tanOBA=

由题意得ABCD,EDA=OBA,

①当点C在y轴负半轴时,

由CE:CD=1:2,

OE=EA=1.5,AD=2,

D(3,2);

②当点C在y轴正半轴时,

由CE:CD=1:2,

OE:OA=1:2,

AE=4.5,

AD=6,

D(3,6).

(3)①由解析式可得A(﹣3,0),B(0,﹣4),

AB=BC=AD=DC=5,

即抛物线向上平移5个单位,因此抛物线C2

解析式为

②I:如图,以AF为边在对称轴右侧作菱形时,延长BA,与抛物线C2 交于点G,

∴∠FAG=BAD.

当AF=AM时,点M与点G重合,菱形AMPF菱形ABCD,

tanAMP=tanOBA=

设M(3+3a4a),F(3,﹣5a).

把M点坐标代入

可得a1=﹣1, (舍去),

当AF=AP时,

设M(3+3a,﹣a),F(3,﹣5a).

把M点坐标代入

可得a1=﹣1 (舍去),

以AF为边在对称轴左侧作菱形时,点F坐标不变.

II:以AF为对角线作菱形时,

由菱形的对角线性质可知,

在AF右侧作FAP=FAM,

∴∠PAF=GAF=BAD,

菱形的轴对称性可得P点也在抛物线C2 上.

设M(3+3a,﹣a),F(3,﹣2a),

当点M在AF左侧时,F点坐标不变.

当点M在AF左侧时,F点坐标不变.

综上所述:

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