题目内容
【题目】如图,抛物线C1:y=﹣(x+3)2与x,y轴分别相交于点A,B,将抛物线C1沿对称轴向上平移,记平移后的抛物线为C2,抛物线C2的顶点是D,与y轴交于点C,射线DC与x轴相交于点E,
(1)求A,B点的坐标;
(2)当CE:CD=1:2时,求此时抛物线C2的顶点坐标;
(3)若四边形ABCD是菱形.
①此时抛物线C2的解析式;
②点F在抛物线C2的对称轴上,且点F在第三象限,点M在抛物线C2上,点P是坐标平面内一点,是否存在以A,F,P,M为顶点的四边形与菱形ABCD相似,并且这个菱形以A为顶点的角是钝角,若存在求出点F的坐标,若不存在请说明理由.
【答案】(1)A(﹣3,0),B(0,﹣4);(2)(3,2)(3,6)(3)①②,,
【解析】
试题分析:(1)利用坐标轴上点的特点,确定出点A,B的坐标;
(2)根据锐角三角函数的意义,和抛物线的平移,得到比例式,求出即可;
(3)①由点的移动情况判断出抛物线的移动情况;
②设出点的坐标,M(3+3a,4a),表示出F(3,﹣5a).根据点在抛物线上,求出a,从而得到F的坐标.
试题解析:(1)令y=0,
∴y=﹣(x+3)2=0,
∴x=3,
令x=0,
∴y=4,
∴A(﹣3,0),B(0,﹣4);
(2)由(1)得:OA=3,OB=4,
∴tan∠OBA=.
由题意得AB∥CD,∠EDA=∠OBA,
∴.
①当点C在y轴负半轴时,
由CE:CD=1:2,
∴OE=EA=1.5,AD=2,
∴D(3,2);
②当点C在y轴正半轴时,
由CE:CD=1:2,
∴OE:OA=1:2,
∴AE=4.5,
∴AD=6,
∴D(3,6).
(3)①由解析式可得A(﹣3,0),B(0,﹣4),
∴AB=BC=AD=DC=5,
即抛物线向上平移5个单位,因此抛物线C2
解析式为;
②I:如图,以AF为边在对称轴右侧作菱形时,延长BA,与抛物线C2 交于点G,
∴∠FAG=∠BAD.
当AF=AM时,点M与点G重合,菱形AMPF∽菱形ABCD,
∵tan∠AMP=tan∠OBA=
∴设M(3+3a,4a),F(3,﹣5a).
把M点坐标代入,
可得a1=﹣1, (舍去),
.
当AF=AP时,
∴设M(3+3a,﹣a),F(3,﹣5a).
把M点坐标代入,
可得a1=﹣1 (舍去),,
.
以AF为边在对称轴左侧作菱形时,点F坐标不变.
II:以AF为对角线作菱形时,
由菱形的对角线性质可知,
在AF右侧作∠FAP=∠FAM,
∴∠PAF=∠GAF=∠BAD,
菱形的轴对称性可得P点也在抛物线C2 上.
设M(3+3a,﹣a),F(3,﹣2a),
∴,
∴.
当点M在AF左侧时,F点坐标不变.
当点M在AF左侧时,F点坐标不变.
综上所述:,,