Question

【题目】
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，请说明EF=BE+CF的理由．
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴∠EBD=∠DBC，∠DCB=∠FCD．

又∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，

∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB

∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，

∴BE=ED，CF=FD，

∴EF=ED+DF=BE+CF．

即：EF=BE+CF

（2）解：不成立．EF=BE﹣CF．理由如下（如图）：

∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线

∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCG

∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，

∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCG，

∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，

∴BE=DE，DF=CF，

∴EF=BE﹣CF

【解析】（1）利用角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质证明BE=ED，CF=FD即可．（2）与（1）方法相同．
【考点精析】本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角的相关知识点，需要掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角才能正确解答此题．