题目内容
已知：如图，△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．
（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连接AD，BC，点M为线段BC的中点，连接OM，请你猜想OM与AD的数量关系：
（2）如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°）．
①OM与AD的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由；
②求证：OM⊥AD．
分析：（1）结合图直接猜想出答案即可；
（2）①先延长BO到F，使FO=BO．连接CF，由M为BC中点，O为BF中点，得出MO为△BCF中位线，MO=
CF，再由∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，得出∠AOD=∠COF，AO=OF，CO=DO，从而判断△AOD≌△FOC，则CF=AD，所以MO=
AD；
②由MO为△BCF中位线，得出MO∥CF，∠MOB=∠F，再由△AOD≌△FOC，∠MOB+∠AOM=90°，得出∠DAO=∠F，∠DAO+∠AOM=90°，从而证得结论．
（2）①先延长BO到F，使FO=BO．连接CF，由M为BC中点，O为BF中点，得出MO为△BCF中位线，MO=
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②由MO为△BCF中位线，得出MO∥CF，∠MOB=∠F，再由△AOD≌△FOC，∠MOB+∠AOM=90°，得出∠DAO=∠F，∠DAO+∠AOM=90°，从而证得结论．
解答：解：（1）猜想结论：OM=
AD（1分）
证明：∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OC=OD，OA=OB，CD∥AB，
∴AC=BD，
∵四边形ABDC是等腰梯形，
∴AD=BC，
∵点M为线段BC的中点，
∴OM=
BC，
∴OM=
AD；
（2）①结论仍成立（2分）
证明：延长BO到F，使FO=BO．连接CF，
∵M为BC中点，O为BF中点，
∴MO为△BCF中位线，
∴MO=
CF（3分），
∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，
∴∠AOD=∠COF，
AO=OF，CO=DO，
∴△AOD≌△FOC（4分），
∴CF=AD，
∴MO=
AD（5分）；
②证法一：∵MO为△BCF中位线，
∴MO∥CF，
∴∠MOB=∠F（6分），
又∵△AOD≌△FOC，
∴∠DAO=∠F，
∵∠MOB+∠AOM=90°，
∴∠DAO+∠AOM=90°（7分），
即OM⊥AD．
证法二：
延长OM到E，使得ME=OM，连接BE，
易证△BEO≌△ODA
∴OE=AD
∴OM=1/2OE=1/2AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO
∴∠DAO+∠AOM=∠EOB+∠AOM=90°
∴OM⊥AD．
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证明：∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OC=OD，OA=OB，CD∥AB，
∴AC=BD，
∵四边形ABDC是等腰梯形，
∴AD=BC，
∵点M为线段BC的中点，
∴OM=
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（2）①结论仍成立（2分）
证明：延长BO到F，使FO=BO．连接CF，∵M为BC中点，O为BF中点，
∴MO为△BCF中位线，
∴MO=
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∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，
∴∠AOD=∠COF，
AO=OF，CO=DO，
∴△AOD≌△FOC（4分），
∴CF=AD，
∴MO=
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②证法一：∵MO为△BCF中位线，
∴MO∥CF，
∴∠MOB=∠F（6分），
又∵△AOD≌△FOC，
∴∠DAO=∠F，
∵∠MOB+∠AOM=90°，
∴∠DAO+∠AOM=90°（7分），
即OM⊥AD．
证法二：
延长OM到E，使得ME=OM，连接BE，
易证△BEO≌△ODA
∴OE=AD
∴OM=1/2OE=1/2AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO
∴∠DAO+∠AOM=∠EOB+∠AOM=90°
∴OM⊥AD．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、等腰直角三角形、三角形中位线定理、旋转的性质，此题综合性较强，适用于基础较好的学生．
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