Question

已知：如图，P为直径AB上一点，EF、CD为过点P的两条弦，且∠DPB=∠EPB．
求证：
（1）CD=EF；
（2）

CE

=

DF

．

Answer 1

分析：（1）过点O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，根据全等三角形的判定方法得到△ODN≌△OEM，根据对应边相等，从而不难求得结论；
（2）根据CD=EF从而得到

CD

=

EF

由等量减去等量还是等量即可得到结论．

解答：证明：（1）过点O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，连接OD、OE，
∵∠DPB=∠EPB，
∴OM=ON．
又∵OE=OD，
∵∠OMP=∠ONP=90°，
∴Rt△ODN≌Rt△OEM（HL）．
∴DN=EM．
∵OM⊥EF，ON⊥CD，
∴点M是EF的中点，点N是CD的中点．
∴EM=

1

2

EF，DN=

1

2

CD．
∴CD=EF．

（2）∵CD=EF，
∴

CD

=

EF

，
∴

CD

-

FC

=

EF

-

FC

．
即

CE

=

DF

．

点评：本题利用了垂径定理和全等三角形的判定和性质及在同圆划等圆中，等弧对等弦，等弦对等弧求解．