Question

【题目】如图1所示，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点，D为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，且C、E关于抛物线的对称轴对称，分别作直线AE、DE．

（1）求此二次函数的关系式；

（2）在图1中，直线DE上有一点Q，使得△QCO≌△QBO，求点Q的坐标；

（3）如图2，直线DE与x轴交于点F，点M为线段AF上一个动点，有A向F运动，速度为每秒2个单位长度，运动到F处停止，点N由F处出发，沿射线FE方向运动，速度为每秒 个单位长度，M、N两点同时出发，运动时间为t秒，当M停止时点N同时停止运动坐标平面内有一个动点P，t为何值时，以P、M、N、F为顶点的四边形是特殊的平行四边形．请直接写出t值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为 y=﹣x2+4x+5；（2）Q点的坐标为（， ）；（3）t的值为或或或或．

【解析】试题分析：（1）直接利用交点式写出抛物线的解析式；

（2）如图1，利用配方法得到D（2，9），抛物线的对称轴为直线x=2，再确定C（0，5），则E（4，5），接着利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣2x+13，然后根据全等三角形的性质得到∠COQ=∠BOQ，所以点Q为第一象限角平分线上的点，最后解方程组 得Q点的坐标；

（3）如图2，对称轴交x轴于点H，先确定DH=9，FH=，DF=，AF=，AM=2t，FN=t，则FM=﹣2t，分类讨论：当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM、FN为菱形的两邻边，则FN=FM，即t=﹣2t；当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FN为菱形对角线，连接MP交FN于Q，利用菱形的性质得FQ=t，再通过得△FQH∽△FHD得到t： =（﹣2t）： ；当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM为菱形对角线，NP与MF相交于K，如图3，利用菱形的性质得FK=（﹣2t），再通过△FKN∽△FHD得到（﹣2t）： =t： ；当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠NMF=90°，通过△FMN∽△FHD得到（﹣2t）： =t： ；当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠MNF=90°，通过△FNM∽△FHD得到（﹣2t）： =t： ，然后分别解关于t的方程可确定满足条件的t的值．

试题解析：（1）抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣5），即y=﹣x2+4x+5；

（2）如图1，y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，则D（2，9），抛物线的对称轴为直线x=2，

当x=0时，y=﹣x2+4x+5=5，则C（0，5），

∵C、E关于抛物线的对称轴对称，

∴E（4，5），

设直线DE的解析式为y=mx+n，

把D（2，9），E（4，5）代入得 ，解得 ，

∴直线DE的解析式为y=﹣2x+13，

∵△QCO≌△QBO，

∴∠COQ=∠BOQ，

∴点Q为第一象限角平分线上的点，

即OQ的解析式为y=x，

解方程组，解得 ，

∴Q点的坐标为（， ）；

（3）如图2，对称轴交x轴于点H，DH=9，FH=，DF=，

当y=0时，﹣2x+13=0，解得x=，则F（，0），

∴AF=﹣（﹣1）=，

AM=2t，FN=t，则FM=﹣2t，

当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM、FN为菱形的两邻边，则FN=FM，即t=﹣2t，解得t=；

当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FN为菱形对角线，连接MP交FN于Q，则PM与NQ互相垂直平分，FQ=t，

易得△FQH∽△FHD，

∴FQ：FH=FM：FD，即t： =（﹣2t）： ，解得t=；

当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM为菱形对角线，NP与MF相交于K，如图3，则MF与NP互相垂直平分，FK=MF=（﹣2t），

易得△FKN∽△FHD，

∴FK：FH=FN：FD，即（﹣2t）： =t： ，解得t=；

当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠NMF=90°，

易得△FMN∽△FHD，

∴FM：FH=FN：FD，即（﹣2t）： =t： ，解得t=；

当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠MNF=90°，

易得△FNM∽△FHD，

∴FM：FD=FN：FH，即（﹣2t）： =t： ，解得t=，

综上所述，t的值为或或或或．