Question

如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？

 

Answer 1

(1)当t为秒时，S最大值为cm2;
当四边形PQP′C为菱形时，t的值是s；
当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形．

解析试题分析：
（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出=，从而求出AB，再根据=，得出PH=3﹣t，则△AQP的面积为：AQ•PH=t（3﹣t），最后进行整理即可得出答案；
（2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，=，求出AE=﹣t+4，再根据QE=AE﹣AQ，QE=QC得出﹣t+4=﹣t+2，再求t即可；
（3）由（1）知，PD=﹣t+3，与（2）同理得：QD=﹣t+4，从而求出PQ=，
在△APQ中，分三种情况讨论：①当AQ=AP，即t=5﹣t，②当PQ=AQ，即=t，③当PQ=AP，即=5﹣t，再分别计算即可
试题解析：
解：（1）如图甲，过点P作PH⊥AC于H，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴=，
∵AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=5cm，
∴=，
∴PH=3﹣t，
∴△AQP的面积为：
S=×AQ×PH=×t×（3﹣t）=﹣（t﹣）2+，
∴当t为秒时，S最大值为cm2．
（2）如图乙，连接PP′，PP′交QC于E，
当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，
∴△APE∽△ABC，
∴=，
∴AE===﹣t+4
QE=AE﹣AQ═﹣t+4﹣t=﹣t+4，
QE=QC=（4﹣t）=﹣t+2，
∴﹣t+4=﹣t+2，
解得：t=，
∵0＜＜4，
∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是s；
（3）由（1）知，
PD=﹣t+3，与（2）同理得：QD=AD﹣AQ=﹣t+4
∴PQ===，
在△APQ中，
①当AQ=AP，即t=5﹣t时，解得：t₁=；
②当PQ=AQ，即=t时，解得：t₂=，t₃=5；
③当PQ=AP，即=5﹣t时，解得：t₄=0，t₅=；
∵0＜t＜4，
∴t₃=5，t₄=0不合题意，舍去，
∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形．


考点：相似形综合题.