题目内容

如图,有足够多的边长为a的小正方形(A类)、长为a宽为b的长方形(B类)以及边长为b的大正方形(C类),发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式.
比如图②可以解释为:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2
(1)取图①中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形,使其面积为(2a+b)(a+2b),在下面虚框中画出图形,并根据图形回答(2a+b)(a+2b)=
2a2+5ab+2b2
2a2+5ab+2b2

(2)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形,使其面积为a2+5ab+6b2
①你画的图中需要C类卡片
6
6
张.
②可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为
(a+2b)(a+3b)
(a+2b)(a+3b)


(3)如图③,大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若用x、y表示四个矩形的两边长(x>y),观察图案,指出以下正确的关系式
ABCD
ABCD
(填写选项).
A.xy=
m2-n2
4
,B.x+y=m,C.x2-y2=m•n,D.x2+y2=
m2+n2
2
分析:(1)画出图形,结合图象和面积公式得出即可;
(2)根据等式即可得出有6张,根据图形和面积公式得出即可;
(3)根据题意得出x+y=m,m2-n2=4xy,根据平方差公式和完全平方公式判断即可.
解答:解:(1)如图:

(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2
故答案为:2a2+5ab+2b2

(2)①∵长方形的面积为a2+5ab+6b2
∴画的图中需要C类卡片6张,
故答案为:6.

②a2+5ab+6b2=(a+2b)(a+3b),
故答案为:(a+2b)(a+3b).

(3)解:根据图③得:x+y=m,
∵m2-n2=4xy,
∴xy=
m2-n2
4

x2-y2=(x+y)(x-y)=mn,
∴x2+y2=(x+y)2-2xy=m2-2×
m2-n2
4
=
m2+n2
2

∴选项A、B、C、D都正确.
故答案为:ABCD.
点评:本题考查了分解因式,长方形的面积,平方差公式,完全平方公式的应用,主要考查学生的观察图形的能力和化简能力.
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