Question

已知二次函数y=ax²+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：

x	…	0	1	2	3	4	5	…
y	…	4	1	0	1	4	9	…

（1）当x=-1时，y的值为______；
（2）点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在该函数的图象上，则当1＜x₁＜2，3＜x₂＜4时，y₁与y₂的大小关系是______；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式：______；
（4）设点P₁（m，y₁）、P₂（m+1，y₂）、P₃（m+2，y₃）都在二次函数y=ax²+bx+c的图象上，问：当m＜-3时，y₁、y₂、y₃的值一定能作为同一个三角形三边的长吗？为什么？

Answer 1

解：（1）根据图表知，当x=1和x=3时，所对应的y值都是2，
∴抛物线的对称轴是直线x=2，
∴x=-1与x=5时的函数值相等，
∵x=5时，y=9，
∴x=-1时，y=9；

（2）∵当1＜x₁＜2时，函数值y₁小于1；当3＜x₂＜4时，函数值y₂大于1，
∴y₁＜y₂；

（3）∵二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为（2，0），
∴可设此二次函数的顶点式为y=a（x-2）²，
将点（0，4）代入，得a（0-2）²=4，
解得a=1，
∴y=（x-2）²，
∴将y=（x-2）²的图象沿x轴向右平移3个单位，所对应的函数关系式为y=（x-2-3）²，
即y=（x-5）²或y=x²-10x+25；

（4）当m＜-3时，y₁、y₂、y₃的值一定能作为同一个三角形三边的长．理由如下：
∵y=（x-2）²，
∴y₁=（m-2）²，y₂=（m-1）²，y₃=m²，
∵m＜-3，
∴y₁＞y₂＞y₃＞0，m+3＜0，m-1＜-4＜0，
∵y₂+y₃-y₁=（m-1）²+m²-（m-2）²=m²+2m-3=（m+3）（m-1），
∴y₂+y₃-y₁＞0，
∴y₂+y₃＞y₁，
∴当m＜-3时，y₁、y₂、y₃的值一定能作为同一个三角形三边的长．
故答案为9；y₁＜y₂；y=（x-5）²或y=x²-10x+25．
分析：（1）先根据图表，当x=1和x=3时，所对应的y值相等，得出抛物线的对称轴是直线x=2，再由二次函数的对称性可知，x=-1与x=5时的函数值相等，即为9；
（2）由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1；当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判断y₁ 与y₂的大小；
（3）先求出二次函数y=ax²+bx+c的解析式，再根据图象平移“左加右减、上加下减”的规律即可写出沿x轴向右平移3个单位的函数解析式；
（4）先将点P₁、P₂、P₃的坐标代入y=（x-2）²，得到y₁=（m-2）²，y₂=（m-1）²，y₃=m²，再根据不等式的性质及m＜-3得出y₁＞y₂＞y₃＞0，m+3＜0，m-1＜0，然后判断y₂+y₃-y₁＞0，即y₂+y₃＞y₁，根据三角形三边关系定理即可得出当m＜-3时，y₁、y₂、y₃的值一定能作为同一个三角形三边的长．
点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，函数图象的平移规律，不等式的性质，三角形三边关系定理等知识，综合性较强，难度适中．其中（3）还可以将表格中任意三点的坐标代入求出二次函数的解析式，（4）中先判断出y₁＞y₂＞y₃＞0是利用三角形三边关系定理的前提条件，一般地，在检验三条线段能否组成一个三角形时，其简便做法就是看两条较短边的和是否大于第三边．