Question

如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的
延长线交线段BC于点P，连AP、AG．

（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．

Answer 1

（1）证明见解析（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP，理由见解析（3）y=x﹣1

解：（1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，
∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO=AD，AG=AG，
∴△AOG≌△ADG（HL）。
（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP。理由如下：
由（1）同理可证△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP。
∵由（1）△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG。
又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，
∴2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°。∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°。
∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP。
∴PG=DG+DP=OG+BP。
（3）∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD。
又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°。∴∠1=∠2=30°。
在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=，
∴G点坐标为：（，0），CG=3﹣。
在Rt△PCG中，PC=，∴P点坐标为：（3，）。
设直线PE的解析式为y=kx+b，
则，解得。
∴直线PE的解析式为y=x﹣1。
（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG。
（2）利用（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。
（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式。