Question

【题目】如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断：
①当x=1时，点P是正方形ABCD的中心；
②当x= 时，EF+GH＞AC；
③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是 ；
④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．
其中正确的是（写出所有正确判断的序号）．

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：（1）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，

∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，

∴当AE=1时，重合点P是BD的中点，

∴点P是正方形ABCD的中心；

故①结论正确，（2）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，

∴△BEF∽△BAC，

∵x= ，

∴BE=2﹣ = ，

∴ = ，即 = ，

∴EF= AC，

同理，GH= AC，

∴EF+GH=AC，

故②结论错误，（3）六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．

∵AE=x，

∴六边形AEFCHG面积=22﹣ BEBF﹣ GDHD=4﹣ ×（2﹣x）（2﹣x）﹣ xx=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，

∴六边形AEFCHG面积的最大值是3，

故③结论错误，（4）当0＜x＜2时，

∵EF+GH=AC，

六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2 =4+2

故六边形AEFCHG周长的值不变，

故④结论正确．

所以答案是：①④．

【考点精析】本题主要考查了正方形的性质和翻折变换（折叠问题）的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能正确解答此题．