题目内容
如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=| 10 |
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设（1）中的抛物线与BC交于点E，P是该抛物线对称轴上的一个动点（如图2）：
①若直线PC把四边形AOEB的面积分成相等的两部分，求直线PC的函数表达式；
②连接PB、PA，是否存在△PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，并直接写出相应的△PAB的外接圆的面积；若不存在，请说明理由．
分析：（1）首先过点C作CF⊥AD于F，根据题意可得Rt△AOB≌Rt△CFD，则可得C（3，3），D（4，0），则利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）①连接AE交OB于点G，因为E的纵坐标为3，代入即可求得其横坐标的值，则可求得BE的长，则可证得四边形AOEB是平行四边形，当PC过点G时，PC把四边形AOEB的面积平分，由点C与G的坐标，利用待定系数法即可求得直线PC的解析式；
②首先求得M与N的坐标，再分别从PB2=PM2+BM2=（y-3）2+4，PA2=PM2+AM2=y2+9，AB2=10这三方面去分析，注意不要漏解，
（2）①连接AE交OB于点G，因为E的纵坐标为3，代入即可求得其横坐标的值，则可求得BE的长，则可证得四边形AOEB是平行四边形，当PC过点G时，PC把四边形AOEB的面积平分，由点C与G的坐标，利用待定系数法即可求得直线PC的解析式；
②首先求得M与N的坐标，再分别从PB2=PM2+BM2=（y-3）2+4，PA2=PM2+AM2=y2+9，AB2=10这三方面去分析，注意不要漏解，
解答：
解：（1）过点C作CF⊥AD于F，
由已知得：Rt△AOB≌Rt△CFD，OF=BC=3，
∴AO=DF=1，OD=OF+DF=4，
∴CF=
=3，
∴C（3，3），D（4，0），
∴
，
解得：a=-1，b=4，c=0，
∴所求的抛物线为y=-x2+4x；
（2）①连接AE交OB于点G，
把y=3代入y=-x2+4x，
得：-x2+4x=3，
解得：x1=1，x2=3，
∴E（1，3），
∴BE=1=OA，
∵BE∥OA，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴当PC过点G（G为AOEB两条对角线的交点）时，PC把四边形AOEB的面积平分，
∵OG=
OB=
，
∴G（0，
），
∴C（3，3），
∴直线CG为：y=
x+
，
∴即直线PC为：y=
x+
；
②存在满足条件的点P，
由（1）知抛物线的对称轴为x=2，
设P（2，y），对称轴交BC于点M，交x轴于点N，
则M（2，3），N（2，0），
∴PB2=PM2+BM2=（y-3）2+4，PA2=PM2+AM2=y2+9，AB2=10，
有三种可能，
若∠PBA=90°，则PA2=PB2+AB2，
∴y2+9=（y-3）2+4+10，
解得y=
，
∴P（2，
），
∴AP=
=
，
此时△PAB外接圆的面积是：π×（
×
）2=
π，
若∠PAB=90°，则PB2=PA2+AB2，
∴（y-3）2+4=y2+9+10，
解得：y=-1，
∴P（2，-1），
∴BP=2
，
此时△PAB外接圆的面积是：5π，
若∠APB=90°，则PB2+PA2=AB2，
∴（y-3）2+4+y2+9=10，此方程无实数根，
∴此时满足条件的点P不存在，
综上所述，存在满足条件的点P，
当点P（2，
）时，△PAB外接圆的面积是
π，
当点P（2，-1）时，△PAB外接圆的面积是5π．
解：（1）过点C作CF⊥AD于F，由已知得：Rt△AOB≌Rt△CFD，OF=BC=3，
∴AO=DF=1，OD=OF+DF=4，
∴CF=
| CD2-DF2 |
∴C（3，3），D（4，0），
∴
|
解得：a=-1，b=4，c=0，
∴所求的抛物线为y=-x2+4x；
（2）①连接AE交OB于点G，
把y=3代入y=-x2+4x，
得：-x2+4x=3，
解得：x1=1，x2=3，
∴E（1，3），
∴BE=1=OA，
∵BE∥OA，
∴四边形AOEB是平行四边形，
∴当PC过点G（G为AOEB两条对角线的交点）时，PC把四边形AOEB的面积平分，
∵OG=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴G（0，
| 3 |
| 2 |
∴C（3，3），
∴直线CG为：y=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴即直线PC为：y=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
②存在满足条件的点P，
由（1）知抛物线的对称轴为x=2，
设P（2，y），对称轴交BC于点M，交x轴于点N，
则M（2，3），N（2，0），
∴PB2=PM2+BM2=（y-3）2+4，PA2=PM2+AM2=y2+9，AB2=10，
有三种可能，
若∠PBA=90°，则PA2=PB2+AB2，
∴y2+9=（y-3）2+4+10，
解得y=
| 7 |
| 3 |
∴P（2，
| 7 |
| 3 |
∴AP=
(-1-2)2+(0-
|
| ||
| 3 |
此时△PAB外接圆的面积是：π×（
| 1 |
| 2 |
| ||
| 3 |
| 65 |
| 18 |
若∠PAB=90°，则PB2=PA2+AB2，
∴（y-3）2+4=y2+9+10，
解得：y=-1，
∴P（2，-1），
∴BP=2
| 5 |
此时△PAB外接圆的面积是：5π，
若∠APB=90°，则PB2+PA2=AB2，
∴（y-3）2+4+y2+9=10，此方程无实数根，
∴此时满足条件的点P不存在，
综上所述，存在满足条件的点P，
当点P（2，
| 7 |
| 3 |
| 65 |
| 18 |
当点P（2，-1）时，△PAB外接圆的面积是5π．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，以及平行四边形的判定与性质等知识．此题综合性很强，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
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