Question

如图，三个等圆两两外切于点A﹑B﹑C，在圆弧AB﹑BC﹑CA所围成的曲线区域内任取一点P，边接PA﹑PB﹑PC，试问:以PA﹑PB﹑PC为边长能否组成一个锐角三角形? 证明你的结论。

Answer 1

解：以PA、PB、PC为边长能组成一个锐角三角形，   证明如下： 连接O1O2、O1O3、O2O3，AB、BC、AC，   易证△O1O2O3，△ABC都是正三角形    把△APB绕点A旋转60°至△ACPˊ，得△APPˊ是正三角形 PˊC=PB ，PA=P Pˊ    ∴△PPˊC就是以PA、PB、PC的边长组成的三角形   记∠APB=α，∠BPC=β，∠APC=γ    ∵P在正三角形ABC的内部    ∴α＞60°，β＞60°，γ＞60°   又∵P在弧AB的外部，弧AB所含的圆周角为150°    ∴α＜150°，同理β＜150°，γ＜150°     ∵∠PPˊC=∠A PˊC-60°=α-60°，   ∠C PPˊ=∠CPA-60°=γ-60°     ∴∠PˊCP=180°-（α-60°）-（γ-60°）=300°-（α+γ）=β-60°，     ∵60°＜α，β，γ＜150°     ∴0°＜α-60°，β-60°，γ-60°＜90°     ∴△PPˊC为锐角三角形