Question

如图所示，有一块面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别为AD、BC的边上中点，将C点折至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ．
（1）求MP；
（2）求证：以PQ为边长的正方形的面积等于

1

3

．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质，可得BQ垂直平分PC；
进而可得△PBC是等边三角形，故可得PN的值．
根据图形的关系可MP=MN-PN，代入数据可得答案；
（2）根据折叠的性质，可得PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°；
再在Rt△BCQ中，根据三角函数的定义可求得PQ的值，进而可得答案．

解答：（1）解：连接BP、PC，由折法知点P是点C关于折痕BQ的对称点．
∴BQ垂直平分PC，BC=BP．
又∵M、N分别为AD、BC边上的中点，且ABCD是正方形，
∴BP=PC．
∴BC=BP=PC．
∴△PBC是等边三角形．
∵PN⊥BC于N，BN=NC=

1

2

BC=

1

2

，∠BPN=

1

2

×∠BPC=30°，
∴PN=

3

2

，MP=MN-PN=

2- 3

2

．

（2）证明：由折法知PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°．
在Rt△BCQ中，QC=BC•tan30°=1×

3

3

=

3

3

，
∴PQ=

3

3

．
∴以PQ为边的正方形的面积为

1

3

．

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．