Question

如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及其延长线分别交AC、BC于点G、F．

(1)求证：DF垂直平分AC；

(2)求证：FC＝CE；

(3)若弦AD＝5 cm，AC＝8 cm，求⊙O的半径．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：因为DE是⊙O的切线，且DF过圆心O， 　　所以DF⊥DE． 　　又因为AC∥DE， 　　所以DF⊥AC． 　　所以DF垂直平分AC． 　　(2)证明：由(1)知：AG＝GC． 　　又因为AD∥BC， 　　所以∠DAG＝∠FCG． 　　又因为∠AGD＝∠CGF， 　　所以△AGD≌△CGF(ASA)． 　　所以AD＝FC． 　　因为AD∥BC且AC∥DE， 　　所以四边形ACED是平行四边形． 　　所以AD＝CE． 　　所以FC＝CE． 　　(3)解：连接AO， 　　因为AG＝GC，AC＝8 cm， 　　所以AG＝4 cm． 　　在Rt△AGD中，由勾股定理得GD＝＝＝3 cm． 　　设圆的半径为r，则AO＝r，OG＝r－3， 　　在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2＝OG2＋AG2， 　　即r2＝(r－3)2＋42，解得r＝． 　　所以⊙O的半径为cm．