Question

如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax²+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax²+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数y=ax²+bx+c=a（x-2）²，进而求出即可；
（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．

解答：解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，
∴0=0.5x+2，
∴x=-4，
与y轴交于点B，
∵x=0，
∴y=2
∴B点坐标为：（0，2），
∴A（-4，0），B（0，2），
∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2
∴可设二次函数y=a（x-2）²或y=a（x+2）²
把B（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函数的解析式：y=0.5x²-2x+2或y=0.5x²+2x+2（对称轴在y轴左侧，舍去）；

（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP₁⊥AD交x轴于P₁点
由Rt△AOB∽Rt△BOP₁
∴

AO

BO

=

BO

P 1O

，
∴

4

2

=

2

OP 1

，
得：OP₁=1，
∴P₁（1，0），
（Ⅱ）作P₂D⊥BD，连接BP₂，
将y=0.5x+2与y=0.5x²-2x+2联立求出两函数交点坐标：
D点坐标为：（5，4.5），
则AD=

9 5

2

，
当D为直角顶点时
∵∠DAP₂=∠BAO，∠BOA=∠ADP₂，
∴△ABO∽△AP₂D，
∴

AB

AP2

=

AO

AD

，

2 5

AP2

=

4

9 5 2

，
解得：AP₂=11.25，
则OP₂=11.25-4=7.25，
故P₂点坐标为（7.25，0）；
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P₃（a，0）
则由Rt△OBP₃∽Rt△EP₃D
得：

OP3

DE

=

OB

P3E

，
∴

a

4.5

=

2

5-a

，
∵方程无解，
∴点P₃不存在，
∴点P的坐标为：P₁（1，0）和P₂（7.25，0）．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．