Question

（2012•潮南区模拟）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．
（1）求出树高AB；
（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长．（用图（2）解答）

Answer 1

分析：（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函数即可求得AB的长；
（2）在△AB₁C₁中，已知AB₁的长，即AB的长，∠B₁AC₁=45°，∠B₁C₁A=30°．过B₁作AC₁的垂线，在直角△AB₁N中根据三角函数求得AN，BN；再在直角△B₁NC₁中，根据三角函数求得NC₁的长，再根据当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．

解答：解：（1）AB=ACtan30°=12×

3

3

=4

3

（米）．
答：树高约为4

3

米．
（2）如图（2），B₁N=AN=AB₁sin45°=4

3

×

2

2

=2

6

（米）．
NC₁=NB₁tan60°=2

6

×

3

=6

2

（米）．
AC₁=AN+NC₁=2

6

+6

2

．
当树与地面成60°角时影长最大AC₂（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）
AC₂=2AB₂=8

3

；

点评：此题考查了平行投影；通过作高线转化为直角三角形的问题，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，是解题的关键．