Question

（2008•白下区二模）已知∠MAN=30°，点O在AN上，以O为圆心，6为半径作⊙O，交AN于B、C两点．
（1）如图①，当⊙O与AM相切于点D时，求线段AB的长；
（2）如图②，当⊙O以与AM相交于D、E两点，且∠DOE=90°时，求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）根据已知∠MAN=30°，得出OA=

OD

sin30°

=12，进而求出AB即可；
（2）根据已知得出OF=DF=EF，再求出OA进而得出AB的长即可．

解答：解：（1）连接OD
∵⊙O与AM相切于点D，
∴OD⊥AM，
∵∠MAN=30°，∴OA=

OD

sin30°

=12，
∴AB=OA-OB=12-6=6；

（2）作OF⊥AM，垂足为F，
∵∠DOE=90°，
∴OF=DF=EF=

1

2

OD=

1

2

×6=3

2

，
∴OA=

OF

sin30°

=6

2

，
∴AB=OA-OB=6

2

-6．

点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数的定义和含30°的直角三角形性质，根据已知熟练应用锐角三角函数的定义是解题关键．