Question

【题目】如图，在△OAC中，以点O为圆心、OA长为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于点B，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．

（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若OA=10，OD=2，求线段AC的长．

Answer 1

【答案】（1）AC是⊙O的切线（2）线段AC的长为24

【解析】试题分析：（1）根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，可得AC是⊙O的切线；

（2）根据“等角对等边”可以推知AC=DC，所以由图形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切线的性质可以在Rt△OAC中，根据勾股定理来求AC的长度．

试题解析：解：（1）AC是⊙O的切线．证明：∵点A，B在⊙O上，∴OB=OA，∴∠OBA=∠OAB，∵∠CAD=∠CDA=∠BDO，∴∠CAD+∠OAB=∠BDO+∠OBA，∵BO⊥OC，

∴∠BDO+∠OBA=90°，∴∠CAD+∠OAB=90°，∴∠OAC=90°，即OA⊥AC，又∵OA是⊙O的半经，∴AC是⊙O的切线；

（2）设AC的长为x．∵∠CAD=∠CDA，∴CD的长为x．由（1）知OA⊥AC，

∴在Rt△OAC中，OA2+AC2=OC2，即102+x2=（2+x）2，∴x=24，

即线段AC的长为24．