题目内容
【题目】矩形ABCD中，点C（3，8），E、F为AB、CD边上的中点，如图1，点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动．
（1）当t=0时，点F的坐标为 ；
（2）当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；
（3）求运动过程中，点F到点O的最大距离；
（4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．
【答案】（1）F（3，4）；（2）8-
；（3）7；（4）t的值为
或
.
【解析】试题分析：（1）先确定出DF，进而得出点F的坐标；
（2）利用直角三角形的性质得出∠ABO=30°，即可得出结论；
（3）当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，即可得出结论；
（4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
试题解析：解：（1）当t=0时．∵AB=CD=8，F为CD中点，∴DF=4，∴F（3，4）；
（2）当t=4时，OA=4．在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，点E是AB的中点，OE=
AB=4，BO=，∴点B下滑的距离为
．
（3）当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，∴FO=OE+EF=7．
（4）在Rt△ADF中，FD2+AD2=AF2，∴AF=
=5，①设AO=t1时，⊙F与x轴相切，点A为切点，∴FA⊥OA，∴∠OAB+∠FAB=90°．∵∠FAD+∠FAB=90°，∴∠BAO=∠FAD．∵∠BOA=∠D=90°，∴Rt△FAE∽Rt△ABO，∴
，∴
，∴t1=，②设AO=t2时，⊙F与y轴相切，B为切点，同理可得，t2=．
综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为或．
【题目】某公司计划投入50万元，开发并生产甲乙两种产品，根据市场调查预计甲产品的年获利y1（万元）与投入资金x（万元）成正比例，乙产品的年获利y2（万元）与投入资金x（万元）的平方成正比例，设该公司投入乙产品x（万元），两种产品的年总获利为y万元（x≥0），得到了表中的数据．
x（万元） | 20 | 30 |
y（万元） | 10 | 13 |
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该公司至少可获得多少利润？请你利用所学的数学知识对该公司投入资金的分配提出合理化建
议，使他能获得最大利润，并求出最大利润是多少？
（3）若从年总利润扣除投入乙产品资金的a倍（a≤1）后，剩余利润随x增大而减小，求a的取值
范围．
