题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠BAC=90°,AB=AC,A(﹣3,0),B(0,1),C(m,n).

(1)请直接写出C点坐标.
(2)将△ABC沿x轴的正方向平移t个单位,B′、C′两点的对应点、正好落在反比例函数y= 在第一象限内图象上.请求出t,k的值.
(3)在(2)的条件下,问是否存x轴上的点M和反比例函数y= 图象上的点N,使得以B′、C′,M,N为顶点的四边形构成平行四边形?如果存在,请求出所有满足条件的点M和点N的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:如图1,过点C作CD⊥x轴于点D,则∠ADC=∠AOB=90°,

∴∠DAC+∠ACD=90°,

∵Rt△ABC,∠A=90°,

∴∠DAC+∠BAO=90°,

∴∠BAO=∠ACD,

在△ADC和△BOA中,

∴△ADC≌△BOA(AAS),

∴AD=OB=1,CD=OA=3,

∴OD=OA+AD=4,

∴C点坐标为:(﹣4,3);


(2)

解:设向右平移了t个单位长度,则点B′的坐标为(t,1)、C′的坐标为(t﹣4,3),

∵B′、C′正好落在某反比例函数图象上,

∴t=3(t﹣4),

解得:t=6,

∴B′(6,1),C′(2,3),

∴k=6,

∴反比例函数的解析式为:y=


(3)

解:存在,如图2,

当MN为平行四边形MC′NB′的对角线时,

由平行四边形的对角线互相平分,可知B′C′,MN的中点为同一个点,

=

∴yN=4代入y= 得xN=1.5,

∴N(1.5,4);

=

∴xM=6.5,

∴M(6.5,0);

如图3,

当MC′为平行四边形MC′NB′的对角线时,同理可得M(7,0),N(3,2);

如图4,

当MB′为平行四边形MC′NB′的对角线时,同理可得M(﹣7,0),N(﹣3,2);

综上所述:存在M(6.5,0),N(1. 5,4)或M(7,0),N(3,2)或M(﹣7,0),N(﹣3,2),使得以B′、C′,M,N为顶点的四边形构成平行四边形.


【解析】(1)由在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,可证得△ADC≌△BOA,继而求得C点坐标;(2)首先设向右平移了t个单位长度,则点B′的坐标为(t,1)、C′的坐标为(t﹣4,3),由B′、C′正好落在某反比例函数图象上,即可得t=3(t﹣4),继而求得m的值,则可求得各点的坐标,于是得到结论;(3)如图2,当MN为平行四边形MC′NB′的对角线时,如图3,当MC′为平行四边形MC′NB′的对角线时,如图4,当MB′为平行四边形MC′NB′的对角线时,根据中点坐标公式即可得到结论.
【考点精析】认真审题,首先需要了解平行四边形的判定(两组对边分别平行的四边形是平行四边形:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形).

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