题目内容
如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，AD=6cm，∠A=60°．（1）求梯形ABCD的面积；
（2）点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向终点D运动（P，Q两点中，有一点运动到了终点，所有运动即终止），设P、Q同时出发并运动了t秒．
①当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
②试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值；若
不存在，说明理由．
分析：（1）作梯形的高DE、CF，根据直角三角形的性质和勾股定理，可得出DE、CD的长，根据梯形的面积公式，求出即可；
（2）①由题意得，PQ为梯形的高，则AE=AP-PE=3t-2，根据含有特殊角的直角三角形的性质，解答出即可；
②由题意，上底CQ=t，下底PB=8-2t，根据等量关系，解出t的值，根据t的取值范围，看t是否存在即可；
（2）①由题意得，PQ为梯形的高，则AE=AP-PE=3t-2，根据含有特殊角的直角三角形的性质，解答出即可；
②由题意，上底CQ=t，下底PB=8-2t，根据等量关系，解出t的值，根据t的取值范围，看t是否存在即可；
解答：
解：（1）作梯形的高DE、CF，根据题意得，
∴AE=BF=3，DE=CF=3
，CD=EF=2，
∴梯形的面积S=
(AB+CD)×DE=15
；
（2）①若PQ分成两个直角梯形，那么PQ为梯形的高；
设CQ=t，AP=2t，DE为梯形的高，
∴AE=AP-PE=2t-（2-t）=3t-2，
在Rt△ADP中，
∵∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴2AE=6，
即，2（3t-2）=6，
解得：t=
；
（[另解]：62=(3
)2+(2t-2+t)2，得：t=
）
②若Q在CD上运动，此时，t≤2；
设t秒后四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，
∴2×
(t+8-2t)×3
=15
，
解得，t=3，
这与t≤2矛盾，不合题意，舍去；
所以，不存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．
解：（1）作梯形的高DE、CF，根据题意得，∴AE=BF=3，DE=CF=3
| 3 |
∴梯形的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
（2）①若PQ分成两个直角梯形，那么PQ为梯形的高；
设CQ=t，AP=2t，DE为梯形的高，
∴AE=AP-PE=2t-（2-t）=3t-2，
在Rt△ADP中，
∵∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴2AE=6，
即，2（3t-2）=6，
解得：t=
| 5 |
| 3 |
（[另解]：62=(3
| 3 |
| 5 |
| 3 |
②若Q在CD上运动，此时，t≤2；
设t秒后四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，
∴2×
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
解得，t=3，
这与t≤2矛盾，不合题意，舍去；
所以，不存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．
点评：本题主要考查了直角梯形和直角三角形的性质，考查了学生的综合运用能力和空间想象能力．
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