Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上一个动点（点A与点B不重合），在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C，连接OC、CD．设点A的横坐标为t．

（1）用含t的式子表示点E的坐标为 ；
（2）当t为何值时，∠OCD=180°？
（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．

Answer 1

【答案】
（1）（t+4，8）
（2）

【解答】解：

如图所示；过点D作DH⊥OF，垂足为H．

∵AC⊥OA，

∴∠OAC=90°．

∴∠BAO+∠EAC=90°．

又∵∠BOA+∠BAO=90°，

∴∠EAC=∠BOA．

又∵∠OBA=∠AEC，

∴△OBA∽△AEC．

∴，即．

∴EC=．

∴点C的坐标为（t+4，8﹣）

∵∠OCD=180°，

∴点C在OD上．

∵CF∥DH，

∴，即

解得：，（舍去）．

所以当t=4﹣4时，∠OCD=180°．

（3）

当0＜t＜16时，三角形OCF的面积=×OFFC=（t+4）（8-t）=，

当t＞16时，三角形OCF的面积=×OFFC=（t+4）（t﹣8）=，

∴s与t的函数关系式为s=．

【解析】（1）由点B坐标为（0，8），可知OB=8，根据线段垂直平分线的定义可知：AE=4，从而求得：BE=t+4，故此点E的坐标为（t+4，8）；
（2）过点D作DH⊥OF，垂足为H．先证明△OBA∽△AEC，由相似三角形的性质可知，可求得EC=，从而得到点C的坐标为（t+4，8﹣），因为∠OCD=180°，CF∥DH，可知，即从而可解得t的值；
（3）三角形OCF的面积=×OFFC ， 从而可得S与t的函数关系式．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．